vyf keer in die oog
Aan die einde van 2020 is verskeie geleenthede by universiteite en skole gehou, uitgestel vanaf ... Maart. Een daarvan was die "viering" van pi-dag. By hierdie geleentheid, op 8 Desember, het ek 'n afgeleë lesing by die Universiteit van Silesië gegee, en hierdie artikel is 'n opsomming van die lesing. Die hele partytjie het om 9.42 begin, en my lesing is geskeduleer vir 10.28. Waar kom sulke akkuraatheid vandaan? Dit is eenvoudig: 3 keer pi is ongeveer 9,42, en π tot die 2de mag is ongeveer 9,88, en die uur 9 tot die 88ste mag is 10 tot die 28ste ...
Die gewoonte om hierdie nommer te vereer, wat die verhouding van die omtrek van 'n sirkel tot sy deursnee uitdruk en soms die Archimedes-konstante genoem word (sowel as in Duitssprekende kulture), kom van die VSA (sien ook: ). 3.14 Maart “American style” om 22:22, vandaar die idee. Die Poolse ekwivalent kan 7 Julie wees omdat die breuk 14/XNUMX π goed benader, wat...Archimedes reeds geweet het. Wel, Maart XNUMX is die beste tyd vir bygeleenthede.
Hierdie drie en veertien honderdstes is een van die min wiskundige boodskappe wat ons lewenslank van skool af bygebly het. Almal weet wat dit beteken"vyf keer in die oog". Dit is so ingeburger in die taal dat dit moeilik is om dit anders en met dieselfde grasie uit te druk. Toe ek by die motorherstelwinkel vra hoeveel die herstelwerk kan kos, het die werktuigkundige daaroor gedink en gesê: "vyf keer ongeveer aghonderd zloty." Ek het besluit om voordeel te trek uit die situasie. "Bedoel jy 'n rowwe benadering?". Die werktuigkundige moes gedink het ek het verkeerd gehoor, so hy het herhaal: "Ek weet nie presies hoeveel nie, maar vyf keer per oog sou 800 wees."
.
Waaroor gaan dit? Spelling voor die Tweede Wêreldoorlog het saam "nee" gebruik, en ek het dit daar gelaat. Ons het nie hier te doen met onnodig grootpraterige poësie nie, hoewel ek hou van die idee dat "'n goue skip geluk pomp." Vra studente: Wat beteken hierdie gedagte? Maar die waarde van hierdie teks lê elders. Die aantal letters in die volgende woorde is die syfers van die pi-uitbreiding. Kom ons kyk:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284
In 1596, 'n Nederlandse wetenskaplike van Duitse oorsprong Ludolph van Seulen bereken die waarde van pi tot 35 desimale plekke. Toe is hierdie figure op sy graf gegraveer. Sy het 'n gedig opgedra aan die nommer pi en aan ons Nobelpryswenner, Vislava Shimborska. Szymborska was gefassineer deur die nie-periodisiteit van hierdie nommer en deur die feit dat met waarskynlikheid 1 elke reeks getalle, soos ons telefoonnommer, daar sou verskyn. Terwyl die eerste eienskap inherent is aan elke irrasionale getal (wat ons van skool moet onthou), is die tweede 'n interessante wiskundige feit wat moeilik is om te bewys. Jy kan selfs toepassings vind wat bied: gee my jou foonnommer en ek sal jou vertel waar dit in pi is.
Waar daar rondheid is, is daar slaap. As ons 'n ronde meer het, dan is dit 1,57 keer langer om daar rond te loop as om te swem. Dit beteken natuurlik nie dat ons een en 'n half tot twee keer stadiger sal swem as wat ons sal verbygaan nie. Ek het die 100m-wêreldrekord met die 100m-wêreldrekord gedeel. Interessant genoeg is die resultaat by mans en vroue amper dieselfde en is 4,9. Ons swem 5 keer stadiger as wat ons hardloop. Roei is heeltemal anders – maar ’n interessante uitdaging. Dit het 'n redelik lang storielyn.
Op die vlug van die agtervolgende Skurk, het die aantreklike en edele Goeie Een na die meer gevaar. Die skurk hardloop langs die oewer en wag dat sy hom laat land. Natuurlik hardloop hy vinniger as Dobry-rye, en as hy glad hardloop, is Dobry vinniger. So die enigste kans vir Evil is om Good van die wal af te kry – 'n akkurate skoot van 'n rewolwer is nie 'n opsie nie, want. Goed het waardevolle inligting wat die Bose wil weet.
Good voldoen aan die volgende strategie. Hy swem oor die meer, nader geleidelik die oewer, maar probeer altyd om aan die oorkant van die Bose te wees, wat lukraak na links, dan na regs hardloop. Dit word in die figuur getoon. Laat Evil beginposisie Z wees1, en Dobre is die middel van die meer. Wanneer Zly na Z beweeg1, Dobro sal na D vaar.1wanneer Bad in Z is2, goed met D2. Dit sal sigsagvormig vloei, maar in ooreenstemming met die reël: so ver as moontlik van Z. Soos dit egter wegbeweeg van die middel van die meer, moet Good in groter en groter sirkels beweeg, en op 'n sekere punt kan dit nie hou by die beginsel “om aan die ander kant van die Bose te wees”. Toe het hy met alle mag na die wal geroei, in die hoop dat die Bose nie die meer sou omseil nie. Sal Good slaag?
Die antwoord hang af van hoe vinnig Good kan roei in verhouding tot die waarde van Bad se bene. Gestel die Slegte Man hardloop teen 'n spoed s keer die spoed van die Goeie Man op die meer. Gevolglik het die grootste sirkel, waarop Goed kan roei om die Bose te weerstaan, 'n radius een keer kleiner as die radius van 'n meer. So, in die tekening het ons. By punt W begin ons Kind oewer toe roei. Dit moet gaan
met spoed
Hy het tyd nodig.
Wicked jaag al sy beste voete. Hy moet die helfte van die sirkel voltooi, wat hom sekondes of minute sal neem, afhangend van die eenhede wat gekies is. As dit meer as 'n gelukkige einde is:
Die goeie een sal gaan. Eenvoudige rekeninge wys wat dit moet wees. As die Slegte Man vinniger as 4,14 keer die Goeie Man hardloop, eindig dit nie goed nie. En ook hier gryp ons nommer pi in.
Wat rond is, is pragtig. Kom ons kyk na die foto van drie dekoratiewe borde – ek het dit na my ouers. Wat is die oppervlakte van die kromlynige driehoek tussen hulle? Dit is 'n eenvoudige taak; die antwoord is op dieselfde foto. Ons is nie verbaas dat dit in die formule voorkom nie - waar daar rondheid is, is daar immers pi.
Ek het 'n moontlik onbekende woord gebruik:. Dit is die naam van die getal pi in die Duitssprekende kultuur, en dit alles te danke aan die Nederlanders (eintlik 'n Duitser wat in Nederland gewoon het - nasionaliteit het toe nie saak gemaak nie), Ludolf van Seoulen... In 1596 het g. hy het 35 syfers van sy uitbreiding tot desimale bereken. Hierdie rekord gehou tot 1853, wanneer William Rutherford 440 setels getel. Die rekordhouer vir handberekeninge is (waarskynlik vir altyd) William Shankswat, na baie jare se werk, gepubliseer het (in 1873) uitbreiding tot 702 syfers. Eers in 1946 is gevind dat die laaste 180 syfers verkeerd was, maar dit het so gebly. 527 korrek. Dit was interessant om die fout self te vind. Kort ná die publikasie van Shanks se uitslag het hulle vermoed dat “iets fout is” – daar was verdag min sewes in ontwikkeling. Die nog onbewese (Desember 2020) hipotese lui dat alle getalle met dieselfde frekwensie moet verskyn. Dit het D.T. Ferguson aangespoor om Shanks se berekeninge te hersien en die "leerder" se fout te vind!
Later het sakrekenaars en rekenaars mense gehelp. Die huidige (Desember 2020) rekordhouer is Timothy Mullican (50 biljoen desimale plekke). Die berekeninge het ... 303 dae geneem. Kom ons speel: hoeveel spasie sal hierdie nommer neem, gedruk in 'n standaardboek. Tot onlangs was die gedrukte "kant" van die teks 1800 karakters (30 reëls by 60 reëls). Kom ons verminder die aantal karakters en bladsymarges, vul 5000 karakters per bladsy in en druk boeke van 50 bladsye. Dus sou XNUMX triljoen karakters tien miljoen boeke neem. Nie sleg nie, reg?
Die vraag is, wat is die punt van so 'n stryd? Vanuit 'n suiwer ekonomiese oogpunt, hoekom moet die belastingbetaler betaal vir sulke "vermaak" van wiskundiges? Die antwoord is nie moeilik nie. Eerstens, van Seoulen spasies uitgevind vir berekeninge, dan nuttig vir logaritmiese berekeninge. As daar vir hom gesê is: asseblief, bou spasies, sou hy geantwoord het: hoekom? Net so beveel:. Soos u weet, was hierdie ontdekking nie heeltemal toevallig nie, maar tog 'n neweproduk van navorsing van 'n ander soort.
Tweedens, kom ons lees wat hy skryf Timothy Mullican. Hier is 'n reproduksie van die begin van sy werk. Professor Mullican is in kuberveiligheid, en pi is so 'n klein stokperdjie waarop hy pas sy nuwe kuberveiligheidstelsel getoets het.
En dat 3,14159 in ingenieurswese meer as genoeg is, dis 'n ander saak. Kom ons doen 'n eenvoudige berekening. Jupiter is 4,774 Tm weg van die Son (terameter = 1012 meter). Om die omtrek van so 'n sirkel met so 'n radius tot 'n absurde presisie van 1 millimeter te bereken, sal dit genoeg wees om π = 3,1415926535897932 te neem.
Die volgende foto wys 'n kwartsirkel Lego-stene. Ek het 1774 pads gebruik en dit was omtrent 3,08 pi. Nie die beste nie, maar wat om te verwag? ’n Sirkel kan nie uit vierkante bestaan nie.
Presies. Dit is bekend dat die getal pi is sirkel vierkant - 'n wiskundige probleem wat al meer as 2000 jaar - sedert die Griekse tyd - op die oplossing daarvan wag. Kan jy 'n kompas en reguitlyn gebruik om 'n vierkant te bou waarvan die oppervlakte gelyk is aan die oppervlakte van die gegewe sirkel?
Die term "vierkant van die sirkel" het die spreektaal binnegekom as 'n simbool van iets onmoontliks. Ek druk die sleutel om te vra, is dit een of ander poging om die sloot van vyandigheid te vul wat die burgers van ons pragtige land skei? Maar ek vermy reeds hierdie onderwerp, want ek voel seker net in wiskunde.
En weer dieselfde ding - die oplossing vir die probleem om die sirkel te vierkantig het nie op so 'n manier verskyn dat die skrywer van die oplossing, Charles Lindemann, in 1882 is hy op die been gebring en het uiteindelik daarin geslaag. In 'n mate ja, maar dit was die gevolg van 'n aanval van 'n breë front. Wiskundiges het geleer dat daar verskillende soorte getalle is. Nie net heelgetalle, rasioneel (dit is breuke) en irrasioneel nie. Onmeetbaarheid kan ook beter of slegter wees. Ons kan dalk van skool onthou dat die irrasionale getal √2 is, 'n getal wat die verhouding van die lengte van 'n vierkant se diagonaal tot die lengte van sy sy uitdruk. Soos enige irrasionale getal, het dit 'n onbepaalde uitbreiding. Laat ek jou daaraan herinner dat periodieke uitbreiding 'n eienskap van rasionale getalle is, m.a.w. private heelgetalle:
Hier herhaal die ry van getalle 142857 onbepaald.Vir √2 sal dit nie gebeur nie - dit is deel van die irrasionaliteit. Maar jy kan:
(breuk gaan vir ewig aan). Ons sien hier 'n patroon, maar van 'n ander soort. Pi is nie eers so algemeen nie. Dit kan nie verkry word deur 'n algebraïese vergelyking op te los nie - dit wil sê een waarin daar nie 'n vierkantswortel, nóg 'n logaritme of trigonometriese funksies is nie. Dit wys reeds dat dit nie konstrueerbaar is nie - om sirkels te teken lei tot kwadratiese funksies, en lyne - reguit lyne - na vergelykings van die eerste graad.
Miskien het ek afgewyk van die hoofintrige. Slegs die ontwikkeling van alle wiskunde het dit moontlik gemaak om terug te keer na die oorsprong – na die ou pragtige wiskunde van die denkers wat vir ons die Europese denkkultuur geskep het, wat vandag deur sommige so twyfelagtig is.
Van die vele verteenwoordigende patrone het ek twee gekies. Die eerste van hulle assosieer ons met die van Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Maar hy was bekend (model, nie Leibniz nie) aan die Middeleeuse Hindoe-geleerde Madhava van die Sangamagram (1350-1425). Die oordrag van inligting op daardie tydstip was nie groot nie - internetverbindings was dikwels karig, en daar was geen batterye vir selfone nie (omdat elektronika nog nie uitgevind is nie!). Die formule is pragtig, maar nutteloos vir berekeninge. Uit honderd bestanddele word "net" 3,15159 verkry.
hy is 'n bietjie beter Viète se formule (die een uit die kwadratiese vergelykings), en sy formule is maklik om te programmeer omdat die volgende term in die produk die vierkantswortel van die vorige plus twee is.
Ons weet dat die sirkel rond is. Ons kan sê dat dit 'n 100 persent rondte is. Die wiskundige sal vra: kan iets nie 1 persent rond wees nie? Blykbaar is dit 'n oksimoron, 'n frase wat 'n verborge teenstrydigheid bevat, soos byvoorbeeld warm ys. Maar kom ons probeer meet hoe rond die vorms kan wees. Dit blyk dat 'n goeie maat gegee word deur die volgende formule, waarin S die area is en L die omtrek van die figuur is. Kom ons vind uit dat die sirkel regtig rond is, dat die sigma 6 is. Die oppervlakte van die sirkel is die omtrek. Ons voeg in ... en kyk wat is reg. Hoe rond is die vierkant? Die berekeninge is net so eenvoudig, ek sal dit nie eers gee nie. Neem 'n gereelde seshoek wat in 'n sirkel met 'n radius ingeskryf is. Die omtrek is natuurlik XNUMX.
Paal
Wat van 'n gewone seshoek? Sy omtrek is 6 en sy oppervlakte
So het ons
wat ongeveer gelyk is aan 0,952. Die seshoek is meer as 95% "rond".
'n Interessante resultaat word verkry wanneer die rondheid van 'n sportstadion bereken word. Volgens IAAF-reëls moet reguit en kurwes 40 meter lank wees, hoewel afwykings toegelaat word. Ek onthou dat Bislet-stadion in Oslo smal en lank was. Ek skryf "was" omdat ek selfs daarop gehardloop het (vir 'n amateur!), maar meer as XNUMX jaar gelede. Kom ons kyk:
As die boog 'n radius van 100 meter het, is die radius van daardie boog meter. Die oppervlakte van die grasperk is vierkante meter, en die area daarbuite (waar daar springplanke is) beloop vierkante meter. Kom ons koppel dit in die formule:
Het die rondheid van 'n sportstadion dus iets te doen met 'n gelyksydige driehoek? Omdat die hoogte van 'n gelyksydige driehoek dieselfde aantal kere die sy is. Dit is 'n toevallige toeval van getalle, maar dit is lekker. Ek hou daarvan. En die lesers?
Wel, dit is goed dat dit rond is, hoewel sommige dalk beswaar kan maak omdat die virus wat ons almal raak rond is. Ten minste is dit hoe hulle dit teken.
