Abel-prys
inhoud
Min lesers sal iets oor die naam Abel sê. Nee, dit gaan nie oor die ongelukkige jong man wat deur sy eie broer Kain vermoor is nie. Ek verwys na die Noorse wiskundige Niels Henrik Abel (1802–1829) en die prys wat na hom vernoem is wat pas (16 Maart 2016) deur die Noorse Akademie van Wetenskappe toegeken is en briewe aan sir Andrew J. Wiles. Dit vergoed wiskundiges omdat hulle deur Alfred Nobel uitgelaat is in die kategorie-ranglys van die wêreld se belangrikste wetenskapprys.
Alhoewel wiskundiges die sg. Fields-medalje (amptelik beskou as die hoogste lourier in sy veld), word dit met slegs 15 duisend geassosieer. (nie miljoene, duisende!) Kanadese dollars tot die wenner Abel-toekennings steek 'n tjek van 6 miljoen Noorse krone (sowat 750 8 euro) in sy sak. Nobelpryswenners ontvang 865 miljoen SEK, of ongeveer XNUMX duisend. euro - minder as tennisspelers vir die wen van 'n groot toernooi. Daar is verskeie waarskynlike redes waarom Alfred Nobel nie wiskundiges onder die moontlike pryswenners ingesluit het nie. Nobel se testament het gehandel oor "uitvindings en ontdekkings" wat die grootste voordeel vir die mensdom bring, maar waarskynlik nie teoreties nie, maar prakties. Wiskunde is nie as 'n wetenskap beskou wat praktiese voordele vir die mensdom inhou nie.
Hoekom Abel
Wie was Niels Henrik Abel en hoe het hy beroemd geword? Hy moes briljant gewees het, want hoewel hy op slegs 27-jarige ouderdom aan tuberkulose gesterf het, het hy 'n vaste plek in wiskunde gehad. Wel, reeds op junior hoërskool leer hulle ons om vergelykings op te los; eerste graad eers, dan vierkantig en soms kubies. Reeds vierhonderd jaar gelede kon Italiaanse wetenskaplikes dit hanteer kwartiese vergelykingselfs die een wat onskuldig lyk:
en waarvan een van die elemente
Ja, wetenskaplikes kon dit reeds in die XNUMXste eeu gedoen het. Dit is nie moeilik om te raai dat vergelykings van hoër grade in ag geneem is nie. En niks. Niemand het in tweehonderd jaar daarin geslaag nie. Niels Abel het ook misluk. En toe besef hy dat ... miskien is dit glad nie moontlik nie. Dit kan bewys word die onmoontlikheid om so 'n vergelyking op te los - of eerder, om die oplossing in eenvoudige rekenkundige formules uit te druk.
Dit was die eerste van 2 1888. jare (!) van hierdie tipe redenasie: iets kan nie bewys word nie, iets kan nie gedoen word nie. Die monopolie op sulke bewyse behoort aan wiskunde – die praktiese wetenskappe breek al hoe meer hindernisse. In XNUMX het die voorsitter van die US Patent Commission verklaar dat "min uitvindings in die toekoms verwag kan word, want byna alles is reeds uitgevind." Vandag is dit vir ons moeilik om eers hieroor te lag... Maar in wiskunde, sodra dit bewys is, is dit verlore. Dit kan nie gedoen word nie.
Die geskiedenis verdeel die ontdekking wat ek beskryf het tussen Niels Abel i Evarist Galois, het albei voor die ouderdom van XNUMX gesterf, onderskat deur hul tydgenote. Niels Abel is een van die min Noorse wiskundiges met wye roem (eintlik twee, die ander is Sofus Li, 1842-1899 - die vanne klink nie Skandinawies nie, maar albei was inheemse Noorweërs).
Noorweërs is in stryd met die Swede - dit is ongelukkig algemeen onder buurvolke. Een van die motiewe vir die instelling van die Abelprys deur die Noorweërs was die begeerte om aan hul landgenote Alfred Nobel te wys: asseblief, ons is nie slegter nie.
Jaag na nie-bestaande marge-inskrywing
Hier is Niels Henrik Abel vir jou. Nou oor die wenner van die toekenning, 'n 63-jarige Engelsman (woonagtig in die VSA). Sy prestasie in 1993 kon net vergelyk word met die klim van Everest, die uitklim van die maan, of so iets. Wie is meneer Andrew Wiles? As jy na die lys van sy publikasies en die verskillende moontlike aanhalingsindekse kyk, sal hy 'n goeie wetenskaplike wees - daar is duisende van hulle. Hy word egter as een van die grootste wiskundiges beskou. Sy navorsing hou verband met getalteorie en gebruik verbande met algebraïese meetkunde Oraz verteenwoordigingsteorie.
Hy het bekend geword vir die oplossing van 'n probleem wat uit die oogpunt van wiskunde heeltemal onbeduidend was bewys van Fermat se Laaste Stelling (wie nie weet wat aangaan nie - herinner jou hieronder). Die werklike waarde was egter nie die oplossing self nie, maar die skepping van 'n nuwe toetsmetode wat gebruik is om baie ander belangrike probleme op te los.
Dit is onmoontlik om nie op hierdie stadium te besin oor die belangrikheid van sekere sake, oor die hiërargie van menslike prestasies nie. Honderdeduisende jongmense droom daarvan om die bal beter as ander te skop, tienduisende wil hulself blootstel aan die Himalaja-winde, rubber op 'n brug spring, geluide maak wat hulle sang noem, ongesonde kos in ander inprop ... of oplos geen onnodige vergelyking nie. Die eerste veroweraar van Mount Everest, Sir Edward Hillary, het direk die vraag beantwoord hoekom hy daarheen gegaan het: “Omdat hy is, want Everest is!” Die skrywer van hierdie woorde was sy lewe lank 'n wiskundige, dit was my resep vir die lewe. Die enigste regte een! Maar kom ons kry hierdie filosofie verby. Kom ons gaan terug op die gesonde pad van wiskunde. Hoekom al die bohaai oor Fermat se Stelling?
Ek dink ons weet almal wat hulle is priemgetalle. Almal verstaan sekerlik die frase "ontbind in hooffaktore", veral wanneer ons seun horlosies in dele verander.
Pierre de Fermat (1601-1665) was 'n prokureur van Toulouse, maar hy het ook met amateurwiskunde te doen gehad en met redelike goeie resultate, want hy het in die geskiedenis van wiskunde afgegaan as die skrywer van baie stellings van getalteorie en -analise. Hy het sy opmerkings en opmerkings in die kantlyn van die boeke wat hy gelees het, geplaas. En presies - rondom 1660 het hy in een van die kantlyne geskryf:
Hier is Pierre de Fermat vir jou. Sedert sy tyd (en laat ek jou herinner dat die dapper Gascon-edelman d'Artagnan destyds in Frankryk gewoon het, en in Pole het Andrzej Kmitsich met Bohuslav Radziwill geveg), het honderde, en miskien selfs duisende groot en klein wiskundiges onsuksesvol probeer om te rekonstrueer die verlore redenasie van 'n briljante amateur. Alhoewel ons vandag seker is dat Fermat se bewys nie korrek kan wees nie, was dit irriterend dat die eenvoudige vraag of vergelyking xn + un = gn, n> 2 het oplossings in natuurlike getalle? kan so moeilik wees.
Baie van die wiskundiges wat op 23 Junie 1993 kom werk het, het in hul e-pos (wat toe 'n vars, steeds warm uitvinding was) 'n lakoniese boodskap gevind: "Rumors from Britain: Wiles proves Fermat." Die volgende dag het die dagpers daaroor geskryf, en die laaste van die Wiles-reeks lesings het die pers, televisie en fotojoernaliste bymekaargemaak – net soos by 'n konferensie van 'n bekende sokkerspeler.
Enigiemand wat "Satan van die sewende graad" deur Kornel Makuszyński gelees het, onthou beslis wat mnr. Iwo Gąsowski, broer van die geskiedenisprofessor, wie se stelsel van ondervraging van studente wat deur Adaś Cisowski ontdek is, gedoen het. Iwo Gąsowski het net die Fermat-vergelyking opgelos, tyd, eiendom verloor en die huis verwaarloos:
Op die ou end het mnr. Iwo verstaan dat die wetsontwerpe oor die magte nie die geluk van die gesin sou verseker nie en hy het opgegee. Makuszyński het nie van wetenskap gehou nie, maar hy was reg oor mnr. Gąsowski. Iwo Gąsowski het een fundamentele fout gemaak. Hy het nie probeer om 'n spesialis in die goeie sin van die woord te word nie, maar het soos 'n amateur opgetree. Andrew Wiles is 'n professionele persoon.
Die verhaal van die stryd teen Fermat se laaste stelling is interessant. Dit kan eenvoudig gesien word dat dit voldoende is om hulle op te los vir eksponente wat priemgetalle is. Vir n = 3 is die oplossing in 1770 gegee. Leonard Euler, vir n = 5 – Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1828) en Adrien Marie Legendre in 1830, en by n = 7 – Gabriël Lame in 1840. In die XNUMXste eeu het die Duitse wiskundige die meeste van sy energie aan Fermat se probleem gewy Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Alhoewel hy nie uiteindelike sukses behaal het nie, het hy baie spesiale gevalle bewys en baie belangrike eienskappe van priemgetalle ontdek. Baie van die moderne algebra, teoretiese rekenkunde en algebraïese getalteorie het sy oorsprong te danke aan Kummer se werk oor Fermat se stelling.
By die oplossing van Fermat se probleem deur metodes van klassieke getalteorie, is hulle verdeel in twee verskillende gevalle van kompleksiteit: die eerste, wanneer ons aanvaar dat die produk xyz saam met eksponent n is, en die tweede, wanneer die getal z ewe deelbaar is deur die eksponent. In die tweede geval was dit bekend dat daar geen oplossings tot n = 150 000 was nie, en in die eerste geval tot n = 6 000 000 000 (Lehmer, 1981). Dit het beteken dat 'n moontlike teenvoorbeeld in elk geval onmoontlik sou wees: dit sal rekeninge van miljarde syfers verg om dit te verkry.
Hier is 'n ou storie vir jou. Vroeg in 1988 was dit in die wiskundige wêreld bekend dat Yoiti Miyaoka 'n mate van ongelykheid bewys, waaruit dit die volgende volg: as net die eksponent n groot genoeg is, dan het Fermat se vergelyking beslis geen oplossings nie. In vergelyking met die effens vroeër resultaat van die Duitser Gerd Faltings (1983) Miyaoka se resultaat het beteken dat as daar oplossings is, dan (in terme van proporsionaliteit) daar slegs 'n eindige aantal daarvan is. Die oplossing van Fermat se probleem word dus gereduseer tot die einde van baie gevalle. Ongelukkig was hoeveel van hulle nie bekend nie: die metodes wat Miyaoka gebruik het, het nie 'n skatting toegelaat van hoeveel reeds "ok" was nie.
Dit is opmerklik hier dat die studie van Fermat se stelling vir baie jare nie binne die raamwerk van suiwer getalteorie uitgevoer is nie, maar binne die raamwerk van algebraïese meetkunde, 'n wiskundige dissipline afgelei van algebra en 'n uitbreiding van Cartesiese analitiese meetkunde, en nou byna oral versprei: van die fondamente van wiskunde (teorie topoi in logika), deur wiskundige analise (kohomologiese metodes, funksionele skewe), klassieke meetkunde, tot teoretiese fisika (vektorbundels, twistorruimtes, solitons).
Wanneer eerbewyse nie omgee nie
Dit is ook moeilik om nie hartseer te wees oor die lot van die wiskundige wie se bydrae tot die oplossing van Fermat se probleem baie betekenisvol is nie. Ek praat van ArakielSuren Yurievich Arakelov, Oekraïens wiskundige met Armeense wortels), wat in die vroeë 80's, toe hy in sy vierde jaar was, die sg. interseksieteorie oor rekenkundige variëteite. Sulke oppervlaktes is vol gate en onvolledigheid, en die kurwes daarop kan as't ware skielik verdwyn en dan weer verskyn. Snydingsteorie verduidelik hoe om die graad van snyding van sulke krommes te bereken. Dit was die belangrikste hulpmiddel wat Faltings en Miyaoka gebruik het in hul werk oor Fermat se probleem.
Eenkeer is Arakelov genooi om sy resultate by 'n groot wiskundige kongres aan te bied. Omdat hy egter krities was oor die Sowjet-stelsel, is hy toestemming geweier om te vertrek. Kort voor lank is hy in die weermag opgeneem. Hy het uitdagend gedemonstreer dat hy om pasifistiese redes teen militêre diens in die algemeen was. Soos ek uit nogal twyfelagtige bronne verneem het, is hy na bewering na 'n geslote psigiatriese hospitaal gestuur, waar hy sowat 'n jaar deurgebring het. Soos u weet, het Sowjet-psigiaters blykbaar vir politieke doeleindes 'n spesiale tipe skisofrenie uitgesonder (in Engels van, wat "traag" beteken in Russies trae skisofrenie).
Dit is moeilik om honderd persent te sê hoe dit werklik was, want my inligtingsbronne is nie baie betroubaar nie. Blykbaar het Arakelov, nadat hy die hospitaal verlaat het, etlike maande in 'n klooster in Zagorsk deurgebring. Hy woon tans in Moskou saam met sy vrou en drie kinders. Hy doen nie wiskunde nie. Andrew Wiles is vol eerbewyse en geld.
Uit die oogpunt van 'n goed gevoede Europese samelewing is die stap ook onverstaanbaar Grigory Perelman, wat in 2002 die bekendste topologiese probleem van die XNUMXste eeu opgelos het,”Poinari vermoedeEn toe verwerp hy alle moontlike toekennings. Eers die Fields-medalje wat aan die begin genoem is, wat wiskundiges as gelykstaande aan die Nobelprys beskou, en dan die toekenning van een miljoen dollar vir die oplossing van een van die sewe belangrikste wiskundige probleme wat van die twintigste eeu oorgebly het. “Ander was beter, ek gee nie om oor eerbewyse nie, want wiskunde is my stokperdjie, ek het kos en sigarette,” het hy min of meer aan die verbaasde wêreld vertel.
Sukses na meer as 300 jaar
Fermat se groot stelling was sekerlik die bekendste en doeltreffendste wiskundige probleem. Dit was oop vir meer as driehonderd jaar, dit was op 'n baie duidelike en leesbare manier geformuleer en dit was teoreties moontlik om deur enigiemand aan te val, en in die era van die popularisering van rekenaars was dit relatief maklik om te probeer om nog 'n rekord te breek in assessering moontlike oplossings. In die geskiedenis van wiskunde het hierdie kwessie deur sy inspirerende rol 'n baie belangrike "kultuurvormende" rol gespeel, wat bygedra het tot die ontstaan van hele wiskundige dissiplines. Dit is vreemd aangesien die probleem self relatief triviaal is en die blote inligting oor die gebrek aan wortels in die Fermat-vergelyking het nie veel bygedra tot die algemene skatkis van wiskundige kennis nie.
In 1847 het Gabriel Lamet (1795-1870) 'n lesing by die Franse Akademie vir Wetenskappe gegee waarin hy die oplossing vir Fermat se probleem aangekondig het. ’n Subtiele redenasiefout is egter dadelik opgemerk. Dit was gebaseer op die ongemagtigde gebruik van die unieke ontbindingstelling. Ons onthou van skool dat elke getal 'n unieke uiteensetting in priemfaktore het, byvoorbeeld, 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Die getal 503 het geen delers nie (behalwe vir 1 en 503 self), dus kan dit nie verder uitgebrei word nie.
Positiewe heelgetalle beskik oor die verspreidingsunikaliteitseienskap, maar onder ander numeriese versamelings hoef dit nie te wees nie. Byvoorbeeld, vir karakternommers
ons het 36 = 22⋅2 XNUMX3 ,maar ook
Deur Lame se bewys te ontleed, kon Kummer die geldigheid van Fermat se vermoede vir sommige eksponente van p. Hy het hulle gereelde priemgetalle genoem. Dit was die eerste belangrike stap na 'n volledige bewys. ’n Mite het ontstaan rondom Fermat se stelling. "Of miskien is dit nog erger - miskien kan jy nie eers bewys dat dit moontlik of onmoontlik is om op te los nie?"
Maar sedert die 80's het almal gevoel dat die doel naby was. Ek onthou dat die Berlynse Muur nog gestaan het, en ek het reeds geluister na lesings oor "binnekort, in 'n oomblik." Wel, iemand moes eerste wees. Andrew Wiles het sy lesing afgesluit met 'n Engelse slym: "Ek dink Fermat bewys dit," en dit het 'n geruime tyd geneem voordat die oorvol gehoor besef het wat gebeur het: 'n 330 jaar oue wiskundige probleem is intensief gewerk deur honderde wiskundiges van die regiment self en tallose amateurs, soos Ivo Gonsovsky uit Makushinsky se romans. En Andrew Wiles het die eer gehad om hande te skud met Harald V, koning van Noorweë. Miskien het hy hom nie gesteur aan die beskeie toelae vir die Abel-prys, sowat etlike honderdduisend euro nie – hoekom het hy soveel geld nodig?
