Vergelykings, kodes, syfers, wiskunde en poësie

Michal Shurek sê oor homself: “Ek is in 1946 gebore. Ek het in 1968 aan die Universiteit van Warskou gegradueer en sedertdien werk ek by die Fakulteit Wiskunde, Informatika en Meganika. Wetenskaplike spesialisering: algebraïese meetkunde. Ek het onlangs met vektorbundels gehandel. Wat is 'n vektorstraal? Dus, die vektore moet styf vasgemaak word met 'n draad, en ons het reeds 'n klomp. My fisikus-vriend Anthony Sim het my by die Jong Tegnikus laat aansluit (hy erken dat hy tantième van my fooie moet kry). Ek het 'n paar artikels geskryf en toe bly ek, en sedert 1978 kan jy elke maand lees wat ek dink oor wiskunde. Ek is mal oor berge en, al is ek oorgewig, probeer ek stap. Ek dink onderwysers is die belangrikste. Ek sal politici, ongeag hul opsies, in 'n swaar bewaakte gebied hou sodat hulle nie kan ontsnap nie. Voer een keer per dag. ’n Brak van Tulek hou van my.

'n Vergelyking is soos 'n syfer vir 'n wiskundige. Om vergelykings op te los, die kern van wiskunde, is die lees van syferteks. Dit word sedert die XNUMXste eeu deur teoloë opgemerk. Johannes Paulus II, wat wiskunde geken het, het dit verskeie kere in sy preke geskryf en genoem – ongelukkig is die feite uit my geheue gevee.

In skoolwetenskap word dit verteenwoordig Pythagoras as die outeur van die stelling oor een of ander afhanklikheid in 'n reghoekige driehoek. Dit het dus deel geword van ons Eurosentriese filosofie. En tog het Pythagoras baie meer deugde. Dit was hy wat sy studente die plig opgelê het om "die wêreld te ken", van "wat is agter hierdie heuwel?" voordat jy die sterre bestudeer. Dit is hoekom Europeërs antieke beskawings “ontdek” het, en nie andersom nie.

Sommige lesers onthouViète patroneen"; baie ouer lesers onthou die term self van skool af en ongeveer die feit dat die vraag in kwadratiese vergelykings verskyn het. Hierdie reëlmatighede is "ideologies" enkripsie inligting.

Geen wonder een nie Francois Viet (1540-1603) was besig met kriptografie aan die hof van Hendrik IV (die eerste Franse koning uit die Bourbon-dinastie, 1553-1610) en het daarin geslaag om die syfer wat die Britte in die oorlog met Frankryk gebruik het, te breek. Hy het dus dieselfde rol gespeel as die Poolse wiskundiges (onder leiding van Marian Rejewski), wat die geheime van die Duitse Enigma-syfermasjien voor die Tweede Wêreldoorlog ontdek het.

mode tema

Presies. Die onderwerp "kodes en syfers" het lankal mode geword in onderrig. Ek het al verskeie kere hieroor geskryf, en oor twee maande is daar weer 'n reeks. Hierdie keer skryf ek onder die indruk van 'n film oor die oorlog van 1920, waar die oorwinning grootliks te danke was aan die verbreking van die kode van die Bolsjewistiese troepe deur 'n span gelei deur die destydse jongmense. Vaclav Sierpinski (1882-1969). Nee, dit is nog nie Enigma nie, dit is net 'n inleiding. Ek onthou 'n toneel uit die film waar Józef Piłsudski (gespeel deur Daniil Olbrychski) vir die hoof van die syferafdeling sê:

Die gedekodeerde boodskappe het 'n belangrike boodskap gedra: Tukhachevsky se troepe sou nie ondersteuning ontvang nie. Jy kan aanval!

Ek het geweet Vaclav Sierpinski (as ek so mag sê: ek was 'n jong student, hy was 'n beroemde professor), het sy lesings en seminare bygewoon. Hy het die indruk gewek van 'n verdorde geleerde, afgelei, besig met sy dissipline en nie die ander wêreld sien nie. Hy het spesifiek gedoseer, na die swartbord gekyk, nie na die gehoor gekyk nie ... maar hy het soos 'n uitstaande spesialis gevoel. Op een of ander manier het hy sekere wiskundige vermoëns gehad – byvoorbeeld om probleme op te los. Daar is ander, wetenskaplikes wat relatief sleg is om raaisels op te los, maar wat 'n diepgaande begrip van die hele teorie het en in staat is om hele areas van kreatiwiteit te inisieer. Ons het albei nodig – hoewel die eerste een vinniger sal beweeg.

Vaclav Sierpinski het nooit oor sy prestasies in 1920 gepraat nie. Tot 1939 moes dit beslis geheim gehou word en ná 1945 het diegene wat saam met Sowjet-Rusland geveg het nie die simpatie van die destydse owerhede geniet nie. My oortuiging dat wetenskaplikes nodig is, soos 'n weermag, word bewys: "net vir ingeval." Hier is president Roosevelt wat Einstein roep:

Die uitstaande Russiese wiskundige Igor Arnold het openlik en hartseer gesê dat die oorlog 'n groot invloed op die ontwikkeling van wiskunde en fisika gehad het (radar en GPS het ook 'n militêre oorsprong gehad). Ek gaan nie in op die morele aspek van die gebruik van die atoombom nie: hier is die verlenging van die oorlog vir 'n jaar en die dood van etlike miljoene van hul eie soldate - daar is die lyding van onskuldige burgerlikes.

***

Ek hardloop weg na bekende gebiede - k. Baie van ons het met die kodes gespeel, miskien verkenning, miskien net so. Eenvoudige syfers, gebaseer op die beginsel om letters met ander letters of ander syfers te vervang, word gereeld gebreek as ons net 'n paar leidrade kry (ons raai byvoorbeeld die koning se naam). Statistiese ontleding help ook vandag. Erger nog, wanneer alles veranderlik is. Maar die ergste is wanneer daar geen reëlmaat is nie. Beskou die kode wat in Die avonture van die goeie soldaat Schweik beskryf word. Neem 'n boek, byvoorbeeld, Die vloed. Hier is die voorstelle op die eerste en tweede bladsye.

Ons wil die woord "CAT" enkodeer. Ons maak oop op bladsy 1 en die volgende sekonde. Ons vind dat op bladsy 1 die letter K eers in die 59ste plek verskyn. Ons vind die nege-en-vyftigste woord aan die oorkant, die ander kant. Dit is 'n "a" woord. Nou is die letter O. Aan die linkerkant is die 16de woord, en die sestiende aan die regterkant is "Mnr." Die letter T is in die 95ste plek, as ek reg getel het, en die vyf-en-negentigste woord van regs is "o". Dus, CAT = 1 HERE O.

'N "onraaibare" syfer, hoewel pynlik stadig vir enkripsie en ... vir raai. Gestel ons wil die letter M deurgee. Ons kan kyk of ons dit met die woord "Wołodyjowski" enkodeer. En ná ons is hulle reeds besig om 'n tronksel voor te berei. Ons kan net staatmaak op 'n plaasvervanger! Boonop neem teenintelligensie kennis van verslae van geheime werknemers dat klante reeds geruime tyd die eerste volume van Die Vloed koop.

My artikel is 'n bydrae tot hierdie tesis: selfs die mees bisarre idees van wiskundiges kan toepassing vind in 'n wydverstaanbare praktyk. Is dit byvoorbeeld moontlik om 'n minder bruikbare wiskundige ontdekking as die toets vir deelbaarheid deur ... deur 47 voor te stel?

Wanneer het ons dit nodig in die lewe? En indien wel, sal dit makliker wees om dit te probeer skei. As dit verdeel, dan is dit goed, indien nie, dan ... tweedens is dit goed (ons weet dat dit nie verdeel nie).

Hoe om te deel en hoekom

Na hierdie inleiding gaan ons verder na Ken julle lesers enige tekens van deelbaarheid? Beslis. Ewe getalle eindig op 2, 4, 6, 8 of nul. 'n Getal is deelbaar deur drie as die som van sy syfers deelbaar is deur drie. Net so, met die teken van deelbaarheid deur nege - moet die som van die syfers deelbaar wees deur nege.

Wie het dit nodig? Ek sal lieg as ek die Leser oortuig dat hy goed is vir enigiets anders as ... skooltake. Wel, en nog 'n kenmerk van deelbaarheid deur 4 (en wat is dit, Leser? Miskien sal jy dit gebruik wanneer jy wil weet op watter jaar die volgende Olimpiade val ...). Maar die kenmerk van deelbaarheid deur 47? Dit is reeds 'n hoofpyn. Sal ons ooit weet of iets deelbaar is deur 47? Indien wel, neem dan 'n sakrekenaar en kyk.

Dit is. Jy is reg, Leser. En tog, lees verder. Jy is welkom.

Deelbaarheid deur 47: Die getal 100+ is deelbaar deur 47 as en slegs as 47 deelbaar is deur +8.

Die wiskundige sal tevrede glimlag: "Gee, mooi." Maar wiskunde is wiskunde. Bewyse maak saak, en ons gee aandag aan die skoonheid daarvan. Hoe om ons eienskap te bewys? Dit is baie eenvoudig. Trek af van 100 + die getal 94 - 47 = 47 (2 -). Ons kry 100+-94+47=6+48=6(+8).

Ons het 'n getal wat deelbaar is deur 47 afgetrek, dus as 6 (+ 8) deelbaar is deur 47, dan is dit ook 100 +. Maar die getal 6 is coprime tot 47, wat beteken dat 6 (+ 8) deelbaar is deur 47 as en slegs as dit + 8 is. Einde van bewys.

Kom ons kyk Enkele voorbeelde.

8805685 is deelbaar deur 47? As ons regtig daarin belangstel, sal ons gouer uitvind deur ons net te verdeel soos ons op laerskool geleer is. Op die een of ander manier is daar nou 'n sakrekenaar in elke selfoon. Verdeel? Ja, privaat 187355.

Wel, kom ons kyk wat die teken van deelbaarheid vir ons sê. Ons ontkoppel die laaste twee syfers, vermenigvuldig hulle met 8, voeg die resultaat by die "afgekapte getal" en doen dieselfde met die gevolglike getal.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

Ons sien dat 94 deelbaar is deur 47 (die kwosiënt is 2), wat beteken dat die oorspronklike getal ook deelbaar is. Goed. Maar wat as ons aanhou om pret te hê?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Nou moet ons stop. Sewe-en-veertig is deelbaar deur 47, reg?

Moet ons regtig stop? Wat as ons verder gaan? O my God, enigiets kan gebeur ... ek sal die besonderhede weglaat. Miskien net die begin:

47 → 0 + 8 · 47 = 376 → 3 + 8 · 76 = 611 → 6 + 8 · 11 = 94 → 0 + 8 · 94 = 752.

Maar ongelukkig is dit so verslawend soos om sade te kou ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ag, sewe-en-veertig. Dit het voorheen gebeur. Wat is volgende? . Dieselfde. Die getalle loop soos volg in 'n lus:

Dit is regtig interessant. Soveel loops.

Twee volgende voorbeelde.

Ons wil weet of 10017627 deelbaar is deur 47. Hoekom het ons hierdie kennis nodig? Ons onthou die beginsel: wee kennis wat die kenner nie help nie. Kennis is altyd daar vir iets. Dit sal vir iets wees, maar nou sal ek nie verduidelik nie. Nog 'n paar rekeninge:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Hy het sy oom van 'n byl na 'n stok verander." Wat kry ons uit dit alles?

Wel, kom ons herhaal die verloop van die verrigtinge. Dit wil sê, ons sal voortgaan om dit te doen (dit is die woord "iterate").

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Kom ons stop die speletjie, deel soos in die skool (of op 'n sakrekenaar): 235 = 5 47. Bingo. Die oorspronklike getal 10017627 is deelbaar deur 47.

Wel gedaan!

Wat as ons verder gaan? Glo my, jy kan dit nagaan.

En nog 'n interessante feit. Ons wil kyk of 799 deelbaar is deur 47. Ons gebruik die deelbaarheidsfunksie. Ons ontkoppel die laaste twee syfers, vermenigvuldig die gevolglike getal met 8 en voeg by wat oorbly:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Wat het ons? Is 799 deelbaar deur 47 as en slegs as 799 deelbaar is deur 47? Ja, dis reg, maar geen wiskunde is hiervoor nodig nie!!! Die olie is olierig (ten minste is hierdie olie olierig).

Oor die blaar, seerowers en die einde van grappies!

Nog twee stories. Waar is die beste plek om 'n blaar weg te steek? Die antwoord is voor die hand liggend: in die bos! Maar hoe kan jy dit dan vind?

Die tweede ken ons uit boeke oor seerowers wat ons lank gelede gelees het. Die seerowers het 'n kaart gemaak van die plek waar hulle die skat begrawe het. Ander het dit óf gesteel óf die geveg gewen. Maar die kaart het nie aangedui vir watter eiland dit bedoel was nie. En kyk vir jouself! Natuurlik het die seerowers dit hanteer (marteling) – die syfers waarvan ek praat kan ook met sulke metodes onttrek word.

Einde van grappies. Leser! Ons skep 'n syfer. Ek is 'n geheime spioen en gebruik "Junior Tegnikus" as my kontakboks. Stuur vir my geënkripteerde boodskappe soos volg aan.

Skakel eers die teks om na 'n string getalle deur die kode te gebruik: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Soos jy kan sien, gebruik ons ​​nie Poolse diakritiese tekens (d.w.s. sonder ą, ę, ć, ń, ó, ś) en nie-Poolse q, v - maar die nie-Poolse x is daar net vir ingeval. Kom ons sluit nog 25 in as 'n spasie (spasie tussen woorde). O, die belangrikste ding. Pas asseblief kode nr 47 toe.

Jy weet wat dit beteken. Jy gaan na 'n vriend wiskundige.

Die vriend se oë rek van verbasing.

Jy antwoord trots:

'n Wiskundige gee jou hierdie eienskap ... en jy weet reeds dat 'n onopvallende funksie vir enkripsie gebruik word

want so 'n patroon is 'n beskryfde handeling

100+→+8.

Dus, wanneer jy wil weet wat 'n nommer beteken, soos 77777777 in 'n geënkripteerde boodskap, gebruik jy die funksie

100+→+8

totdat jy 'n getal tussen 1 en 25 kry. Kyk nou na die eksplisiete alfanumeriese kode. Kom ons kyk: 77777777 →... Ek laat dit aan jou oor as 'n taak. Maar kom ons kyk watter letter 48 versteek? Laat ons lees:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Dan kry ons om die beurt:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432 ...

Die einde is nie in sig nie. Eers na die sestigste (!) tyd sal 'n getal minder as 25 verskyn.Dit is 3, wat beteken 48 is die letter C.

En wat gee hierdie boodskap vir ons? (Ek wil u daaraan herinner dat ons kode nommer 47 gebruik):

80 - 152 - 136 - 546 - 695719 - 100 - 224 - 555 - 412 - 111 - 640 - 102 - 152 - 12881 - 444 - 77777777 - 59 - 408 - 373 - 1234567 - 341.

Wel, dink daaroor, wat is so ingewikkeld, sommige rekeninge. Ons het begin. Vroeë 80. Bekende reël:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Dit gaan so voort:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Eet! Die eerste letter van die boodskap is K. Pff, maklik, maar hoe lank sal dit neem?

Kom ons kyk ook hoeveel moeite ons het met die nommer 1234567. Eers op die sestiende keer sal ons 'n getal minder as 25 kry, naamlik 12. Dus 1234567 is L.

Goed, kan mens sê, maar hierdie rekenkundige bewerking is so eenvoudig dat die programmering daarvan op 'n rekenaar die kode onmiddellik sal breek. Ja, dit is waar. Dit is eenvoudige rekenaarberekeninge. idee met openbare syfer en dit gaan ook daaroor om die berekeninge vir die rekenaar moeilik te maak. Laat dit vir minstens honderd jaar werk. Sal hy die boodskap dekripteer? Maak nie saak nie. Dit sal vir 'n lang tyd nie saak maak nie. Dit is (min of meer) waaroor openbare syfers gaan. Hulle kan gebreek word as jy baie lank werk ... totdat die nuus nie meer relevant is nie.

 dit het nog altyd geboorte gegee aan “teenwapens”. Dit het alles begin met 'n swaard en skild. Die geheime dienste betaal groot bedrae geld aan begaafde wiskundiges om enkripsiemetodes uit te vind wat rekenaars (insluitend dié wat deur ons geskep is) nie in die XNUMXste eeu sal kan kraak nie.

twee-en-twintigste eeu? Dit is nie so moeilik om te weet dat daar reeds baie mense in die wêreld is wat in hierdie pragtige eeu sal lewe nie!

O, huh? Wat as ek vra (ek, die Geheime Beampte wat deur die “Jong Tegnikus” gekontak is) om met kodenommer 23 te enkripteer? Of 17? Eenvoudig:

Mag ons nooit wiskunde vir sulke doeleindes hoef te gebruik nie.

***

Die titel van die artikel handel oor poësie. Wat het sy hiermee te doen?

Soos wat? Poësie enkripteer ook die wêreld.

Hoe werk dit?

Deur hul metodes - soortgelyk aan algebraïese.