Artikel oor niks

As kind was ek gefassineer deur die storie, seker aan baie lesers bekend, oor “sop op ’n spyker”. My ouma (XNUMXste eeu van geboorte) het dit vir my gesê in die weergawe "Die Kosak het gekom en vir water gevra, want hy het 'n spyker en hy sal sop daarop kook." Die nuuskierige gasvrou het vir hom 'n pot water gegee ... en ons weet wat volgende gebeur het: "die sop moet sout wees, daitye, ouma, sout", dan was hy die vleis "om die smaak te verbeter" ensovoorts. Op die ou end het hy die “gekookte” spyker weggegooi.

Hierdie artikel was dus veronderstel om oor die leegheid van die ruimte te handel – en dit gaan oor die landing van ’n Europese apparaat op die komeet 67P / Churyumov-Gerasimenko op 12 November 2014. Maar terwyl ek geskryf het, het ek aan ’n jarelange gewoonte geswig, Ek is steeds 'n wiskundige. Hoe gaan dit met Soosс Nul wiskunde?

Hoe bestaan ​​Niks nie?

Daar kan nie gesê word dat Niks bestaan ​​nie. Dit bestaan ​​ten minste as 'n filosofiese, wiskundige, godsdienstige en heeltemal omgangstaal konsep. Nul is 'n gewone getal, nul grade op 'n termometer is ook 'n temperatuur, en 'n nulbalans in 'n bank is 'n onaangename maar algemene verskynsel. Let daarop dat daar geen nuljaar in die chronologie is nie, en dit is omdat nul eers in die laat Middeleeue in wiskunde ingevoer is, later as die chronologie wat deur die monnik Dionisius (XNUMXste eeu) voorgestel is.

Vreemd genoeg kon ons regtig sonder hierdie nul klaarkom en dus sonder negatiewe getalle. In een van die handboeke oor logika het ek 'n oefening gevind: teken of sê hoe jy jou die afwesigheid van visse voorstel. Wonderlik, is dit nie? Enigeen kan 'n vis teken, maar nie een nie?

Nou kortliks basiese wiskunde kursus. Die toekenning van die bestaansvoorreg aan die leë stel gemerk met 'n deurgehaalde sirkel ∅ is 'n noodsaaklike prosedure analoog aan die toevoeging van nul by die stel getalle. Die leë stel is die enigste stel wat geen elemente bevat nie. Sulke versamelings:

Maar daar is nie twee verskillende leë stelle nie. Die leë stel is by elke ander stel ingesluit:

Inderdaad, die reëls van wiskundige logika sê dat versameling A in versameling B vervat is as en slegs as die sin:

dit behels

In die geval van die leë versameling ∅ is die proposisie altyd onwaar, en dus, volgens die wette van logika, is die implikasie oor die algemeen waar. Alles spruit uit 'n leuen ("hier sal ek 'n kaktus kweek as jy na die volgende klas skuif ..."). Dus, aangesien die leë stel in elk van die ander vervat is, dan sou hulle twee verskillende eens wees, elkeen van hulle sou in die ander vervat wees. As twee stelle egter binne mekaar vervat is, is hulle gelyk. Daarom: daar is net een leë stel!

Die postulaat van die bestaan ​​van 'n leë versameling weerspreek geen wette van wiskunde nie, so hoekom maak dit nie lewe nie? Die filosofiese beginsel genoemOccam se skeermes» 'n Bevel om onnodige konsepte uit te sluit, maar net reg die konsep van 'n leë stel is baie nuttig in wiskunde. Let daarop dat die leë versameling 'n dimensie van -1 (minus een) het - nul-dimensionele elemente is punte en hul yl stelsels, een-dimensionele elemente is lyne, en ons het gepraat oor baie komplekse wiskundige elemente met fraktale dimensie in die hoofstuk oor fraktale .

Dit is interessant dat die hele bou van wiskunde: getalle, getalle, funksies, operatore, integrale, differensiale, vergelykings ... afgelei kan word uit een konsep - 'n leë versameling! Dit is genoeg om te aanvaar dat daar 'n leë stel is, die nuutgeskepte elemente kan in stelle gekombineer word om te kan bou al die wiskunde. Dit is hoe die Duitse logikus Gottlob Frege die natuurlike getalle gekonstrueer het. Nul is 'n klas stelle waarvan die elemente in wedersydse ooreenstemming is met die elemente van die leë versameling. Een is 'n klas versamelings waarvan die elemente in wedersydse ooreenstemming is met die elemente van 'n versameling waarvan die enigste element die leë versameling is. Twee is 'n klas stelle waarvan die elemente een-tot-een is met die elemente van die versameling wat bestaan ​​uit die leë versameling en die versameling waarvan die enigste element die leë versameling is... ensovoorts. Met die eerste oogopslag blyk dit iets baie ingewikkeld te wees, maar dit is eintlik nie.

Blou het oor my versprei

ruik na heide en ruik na kruisement...

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Dit is moeilik om te dink

Niks is moeilik om te dink nie. In Stanisław Lem se verhaal "How the World Was Saved" het die ontwerper Trurl 'n masjien gebou wat alles sou doen wat met 'n letter begin. Toe Klapaucius beveel het dat dit gebou moet word Nic, het die masjien verskeie voorwerpe van die wêreld begin verwyder - met die uiteindelike doel om alles te verwyder. Teen die tyd dat die bang Klapaucius die motor stop, het galeie, taxus, hang, hakke, rympies, klitsers, poefs, grinders, spiese, philidrons en ryp vir altyd uit die wêreld verdwyn. En inderdaad, hulle het vir altyd verdwyn ...

Józef Tischner het baie goed oor niks in sy History of Mountain Philosophy geskryf. Tydens my laaste vakansie het ek besluit om hierdie niks te ervaar, naamlik, ek het na die veenmoerasse tussen Nowy Targ en Jabłonka in Podhale gegaan. Hierdie gebied word selfs Pustachia genoem. Jy gaan, jy gaan, maar die pad verminder nie – natuurlik op ons beskeie, Poolse skaal. Ek het eendag 'n bus in die Kanadese provinsie Saskatchewan geneem. Buite was 'n mielieland. Ek het vir 'n halfuur geslaap. Toe ek wakker word, ry ons deur dieselfde mielieland... Maar wag, is dit leeg? In 'n sekere sin is die afwesigheid van verandering net leegheid.

Ons is gewoond aan die konstante teenwoordigheid van verskeie voorwerpe rondom ons, en van Iets jy kan nie weghardloop selfs met jou oë toe nie. "Ek dink, daarom is ek," het Descartes gesê. As ek al iets gedink het, dan bestaan ​​ek, wat beteken dat daar ten minste iets in die wêreld is (naamlik ek). Bestaan ​​wat ek gedink het? Dit kan bespreek word, maar in moderne kwantummeganika is die Heisenberg-beginsel bekend: elke waarneming versteur die toestand van die waargenome voorwerp. Tot ons dit sien Nic dit bestaan ​​nie, en wanneer ons begin kyk, hou die voorwerp op om te wees Soos en dit word Iets. Dit raak absurd antropiese beginsel: Daar is geen sin om te vra hoe die wêreld sou wees as ons nie bestaan ​​het nie. Die wêreld is wat dit vir ons lyk. Miskien sal ander wesens die Aarde as hoekig sien?

'n Positron (so 'n positiewe elektron) is 'n gat in die ruimte, "daar is geen elektron nie." In die proses van vernietiging spring die elektron in hierdie gat en “niks gebeur nie” – daar is geen gat, geen elektron nie. Ek sal baie grappies oor gate in Switserse kaas oorslaan (“hoe meer ek het, hoe minder daar ...”). Die bekende komponis John Cage het sy idees reeds in so 'n mate gebruik dat hy 'n musiekstuk (?) gekomponeer het waarin die orkes 4 minute 33 sekondes roerloos sit en natuurlik niks speel nie. "Vier minute en drie-en-dertig sekondes is tweehonderd drie-en-sewentig, 273, en minus 273 grade is absolute nul, waarby alle beweging stop," het die komponis (?) verduidelik.

Filter na nul, niks, nick, nick, niks, nul!

Jerzy in Andrzej Wajda se film Over the Years,

dae gaan verby"

Hoe gaan dit met almal?

Baie mense (van eenvoudige boere tot vooraanstaande filosowe) het gewonder oor die verskynsel van bestaan. In wiskunde is die situasie eenvoudig: daar is iets wat konsekwent is.

Sy het in die marginale velde verdwyn

In koringblomme, onkruid en leeubekke ...

Wel, dinge soos hierdie gebeur

Veral in die oes, en tydens die oes

veral …

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Alles is aan die ander uiterste van Niks. In wiskunde weet ons dit Alles bestaan ​​nie. Net 'n veels te onakkurate idee dat sy bestaan ​​vry van kontroversie sou wees. Dit kan verstaan ​​word deur die voorbeeld van die ou paradoks: "As God almagtig is, skep dan 'n klip om op te tel?" Die wiskundige bewys dat daar nie versamelings van alle versamelings kan wees nie, is gebaseer op die stelling sanger-Bershtein, wat sê dat "'n oneindige getal" (wiskundig: kardinale getal) die versameling van alle lede van 'n gegewe stel is groter as die aantal elemente van hierdie stel.

As 'n stel elemente het, dan het dit 2ⁿ subversamelings; byvoorbeeld, wanneer = 3 en die versameling bestaan ​​uit {1, 2, 3}, dan bestaan ​​die volgende substelle:

• drie twee-element stelle: elkeen van hulle ontbreek een van die nommers 1, 2, 3,
• een leë stel,
• drie een-element stelle,
• die hele stel {1,2,3}

– net agt, 2³En lesers wat onlangs van die skool gegradueer het, wil ek graag die ooreenstemmende formule onthou:

Elkeen van die Newtoniaanse simbole in hierdie formule bepaal die aantal k-elementstelle in die -elementversameling.

In wiskunde verskyn binomiaalkoëffisiënte op baie ander plekke, soos in interessante formules vir verminderde vermenigvuldiging:

en uit hul presiese vorm is hul interafhanklikheid baie interessanter.

Dit is moeilik om te verstaan ​​wat - wat logika en wiskunde betref - is, en wat Alles nie is nie. Argumente vir nie-bestaan ​​Net dieselfde as dié van Winnie the Pooh, wat sy gas, Tiger, beleefd gevra het, hou Tiere hoegenaamd van heuning, eikels en distels? “Tiere hou van alles,” antwoord die een waaruit Kubus tot die gevolgtrekking gekom het dat as hulle van alles hou, dan hou hulle ook daarvan om op die vloer te slaap, daarom kan hy, Vinnie, teruggaan bed toe.

Nog 'n argument Russell se paradoks. Daar is 'n barbier in die dorp wat al die mans skeer wat nie hulself skeer nie. Skeer hy homself? Albei antwoorde weerspreek die voorwaarde wat gestel word dat diegene, en slegs diegene, wat dit nie self doen nie, geslag word.

Opsoek na 'n versameling van alle versamelings

Ten slotte gee ek 'n slim, maar mees wiskundige bewys dat daar geen versameling van alle versamelings is nie (nie daarmee te verwar word nie).

Eerstens sal ons wys dat vir enige nie-leë versameling X, dit onmoontlik is om 'n wedersydse unieke funksie te vind wat hierdie stel aan die stel van sy subversamelings P(X) karteer. Kom ons neem dus aan dat hierdie funksie bestaan. Kom ons dui dit aan met die tradisionele f. Wat is f van x? Hierdie is 'n versameling. Behoort xf aan x? Dit is onbekend. Of jy moet of jy moet nie. Maar vir sommige x moet dit steeds so wees dat dit nie tot f van x behoort nie. Wel, oorweeg dan die versameling van alle x waarvoor x nie aan f(x) behoort nie. Dui dit (hierdie versameling) aan met A. Dit stem ooreen met een of ander element a van die versameling X. Behoort a aan A? Kom ons neem aan jy moet. Maar A is 'n versameling wat slegs daardie elemente van x bevat wat nie aan f(x) behoort nie ... Wel, behoort dit dalk nie aan A nie? Maar die versameling A bevat al die elemente van hierdie eienskap, en dus ook A. Einde van die bewys.

As daar dus 'n versameling van alle versamelings was, sou dit self 'n subset van homself wees, wat volgens die vorige redenasie onmoontlik is.

Sjoe, ek dink nie baie lesers het hierdie bewys gesien nie. Ek het dit eerder aangebring om te wys wat wiskundiges moes doen aan die einde van die negentiende eeu, toe hulle die grondslae van hul eie wetenskap begin bestudeer het. Dit het geblyk dat probleme lê waar niemand dit verwag het nie. Verder, vir die hele wiskunde, maak hierdie redenasies oor die basisse nie saak nie: maak nie saak wat in die kelders gebeur nie - die hele gebou van wiskunde staan ​​op 'n soliede rots.

Intussen, bo...

Ons let op nog 'n moraliteit uit die verhale van Stanislav Lem. In een van sy reise het Iyon Tichi 'n planeet bereik waarvan die inwoners, na 'n lang evolusie, uiteindelik die hoogste stadium van ontwikkeling bereik het. Hulle is almal sterk, hulle kan enigiets doen, hulle het alles by hul vingerpunte ... en hulle doen niks. Hulle gaan lê op die sand en gooi dit tussen hul vingers. "As alles moontlik is, is dit nie die moeite werd nie," verduidelik hulle aan die geskokte Ijon. Mag dit nie met ons Europese beskawing gebeur nie...