omgekeerde sjarme

Daar word baie gepraat oor die "bekoring van teenoorgesteldes", en nie net in wiskunde nie. Onthou dat teenoorgestelde getalle dié is wat slegs in teken verskil: plus 7 en minus 7. Die som van teenoorgestelde getalle is nul. Maar vir ons (d.w.s. wiskundiges) is die wederkeriges interessanter. As die produk van getalle gelyk is aan 1, dan is hierdie getalle omgekeerd van mekaar. Elke getal het sy teenoorgestelde, elke nie-nul getal het sy inverse. Die wederkerige van die wederkerige is die saad.

Inversie vind plaas waar ook al twee hoeveelhede met mekaar verband hou, sodat as een toeneem, die ander teen 'n ooreenstemmende tempo afneem. "Relevant" beteken dat die produk van hierdie hoeveelhede nie verander nie. Ons onthou van skool af: dit is 'n omgekeerde verhouding. As ek twee keer so vinnig by my bestemming wil uitkom (d.w.s. sny die tyd in die helfte), moet ek my spoed verdubbel. As die volume van 'n verseëlde houer met gas met n keer verminder word, sal die druk daarvan met n keer toeneem.

In elementêre onderwys onderskei ons noukeurig tussen differensiële en relatiewe vergelykings. "Hoeveel meer"? – “Hoeveel keer meer?”

Hier is 'n paar skoolaktiwiteite:

Taak 1. Van die twee positiewe waardes is die eerste 5 keer groter as die tweede en terselfdertyd 5 keer groter as die eerste. Wat is die afmetings?

Taak 2. As een getal 3 groter is as die tweede, en die tweede is 2 groter as die derde, hoeveel groter is die eerste getal as die derde? As die eerste positiewe getal twee keer die tweede is en die eerste getal drie keer die derde, hoeveel keer is die eerste getal groter as die derde?

Taak 3. In taak 2 word slegs natuurlike getalle toegelaat. Is so 'n reëling soos daar beskryf moontlik?

Taak 4. Van die twee positiewe waardes is die eerste 5 keer die tweede, en die tweede is 5 keer die eerste. Is dit moontlik?

Die konsep van "gemiddeld" of "gemiddeld" lyk baie eenvoudig. As ek Maandag 55 km fietsry, Dinsdag 45 km en Woensdag 80 km, het ek gemiddeld 60 km per dag gery. Ons stem heelhartig saam met hierdie berekeninge, hoewel dit 'n bietjie vreemd is, want ek het nog nie 60 km op een dag gery nie. Ons aanvaar net so maklik die aandele van 'n persoon: as tweehonderd mense 'n restaurant binne ses dae besoek, dan is die gemiddelde daaglikse tarief 33 en 'n derde mense. Hm!

Daar is slegs probleme met die gemiddelde grootte. Ek hou van fietsry. Ek het dus gebruik gemaak van die aanbod van die reisagentskap “Kom ons gaan saam met ons” – hulle lewer bagasie by die hotel af, waar die kliënt vir ontspanningsdoeleindes fiets ry. Vrydag het ek vier uur lank gery: die eerste twee teen 'n spoed van 24 km per uur. Toe word ek so moeg dat vir die volgende twee teen 'n koers van net 16 per uur. Wat was my gemiddelde spoed? Natuurlik (24+16)/2=20km=20km/h.

Saterdag is die bagasie egter by die hotel gelos, en ek het die ruïnes van die kasteel, wat 24 km verder is, gaan kyk en nadat ek dit gesien het, het ek teruggekeer. Ek het 'n uur in een rigting gery, stadiger teruggekeer, teen 'n spoed van 16 km per uur. Wat was my gemiddelde spoed op die hotel-kasteel-hotel-roete? 20 km per uur? Natuurlik nie. Ek het immers altesaam 48 km gery en dit het my ’n uur (“daar”) en ’n uur en ’n half terug geneem. 48 km in twee en 'n half uur, m.a.w. uur 48/2,5=192/10=19,2 km! In hierdie situasie is die gemiddelde spoed nie die rekenkundige gemiddelde nie, maar die harmoniese van die gegewe waardes:

en hierdie twee-verhaal formule kan soos volg gelees word: die harmoniese gemiddelde van positiewe getalle is die wederkerige van die rekenkundige gemiddelde van hul wederkerige. Die wederkerigheid van die som van die wederkeriges kom voor in baie kore van skooltake: as een werker ure grawe, die ander - b ure, dan grawe hulle, saam te werk, betyds. waterswembad (een per uur, die ander teen uur). As een weerstand R1 en die ander het R2, dan het hulle 'n parallelle weerstand. 

As een rekenaar 'n probleem in sekondes kan oplos, 'n ander rekenaar in b sekondes, dan wanneer hulle saamwerk...

Stop! Dit is waar die analogie eindig, want alles hang af van die spoed van die netwerk: die doeltreffendheid van die verbindings. Werkers kan mekaar ook verhinder of help. As een man 'n put in agt uur kan grawe, kan tagtig werkers dit in 1/10 van 'n uur (of 6 minute) doen? As ses portiers die klavier binne 6 minute na die eerste verdieping neem, hoe lank sal dit een van hulle neem om die klavier op die sestigste vloer af te lewer? Die absurditeit van sulke probleme laat my dink aan die beperkte toepaslikheid van alle wiskunde op probleme “uit die lewe”.

Oor 'n kragtige verkoper 

Die skale word nie meer gebruik nie. Onthou dat 'n gewig op een bak van sulke skale geplaas is, en die goed wat geweeg word, is op die ander geplaas, en wanneer die gewig in ewewig was, dan het die goedere soveel as die gewig geweeg. Natuurlik moet albei arms van die gewigvrag ewe lank wees, anders sal die weeg verkeerd wees.

Ag reg. Stel jou 'n verkoopspersoon voor wat 'n gewig het met ongelyke hefboomfinansiering. Hy wil egter eerlik met die klante wees en weeg die goedere in twee bondels. Eerstens sit hy 'n gewig op een pan, en op die ander 'n ooreenstemmende hoeveelheid goedere - sodat die weegskaal in balans is. Dan weeg hy die tweede "helfte" van die goed in omgekeerde volgorde, dit wil sê, hy sit die gewig op die tweede bak, en die goed op die eerste. Aangesien die hande ongelyk is, is die "helftes" nooit gelyk nie. En die verkoper se gewete is skoon, en kopers prys sy eerlikheid: "Wat ek hier verwyder het, het ek toe bygevoeg."

Kom ons kyk egter van naderby na die gedrag van 'n verkoper wat eerlik wil wees ten spyte van die onsekere gewig. Laat die arms van die weegskaal lengtes a en b hê. As een van die bakke gelaai is met 'n kilogram gewig en die ander met x goedere, dan is die skale in ewewig as ax = b die eerste keer en bx = a die tweede keer. Dus, die eerste deel van die goedere is gelyk aan b / 'n kilogram, die tweede deel is a / b. Goeie gewig het a = b, dus sal die koper 2 kg goedere ontvang. Kom ons kyk wat gebeur wanneer a ≠ b. Dan a – b ≠ 0 en van die verminderde vermenigvuldigingsformule wat ons het

Ons het tot 'n onverwagte resultaat gekom: die oënskynlik billike metode om die meting te "gemiddeld" werk in hierdie geval tot voordeel van die koper, wat meer goedere ontvang.

5 werk. (Belangrik, geensins in wiskunde nie!). 'n Muskiet weeg 2,5 milligram, en 'n olifant vyf ton (dit is heeltemal korrekte data). Bereken die rekenkundige gemiddelde, meetkundige gemiddelde en harmoniese gemiddelde van die muskiet- en olifantmassas (gewigte). Gaan die berekeninge na en kyk of dit enige sin maak behalwe rekenoefeninge. Kom ons kyk na ander voorbeelde van wiskundige berekeninge wat nie sin maak in die "regte lewe" nie. Wenk: Ons het reeds na een voorbeeld in hierdie artikel gekyk. Beteken dit dat 'n anonieme student wie se mening ek op die internet gekry het, reg was: "Wisk fools people with numbers"?

Ja, ek stem saam dat jy in die grootsheid van wiskunde mense kan “fool” - elke tweede sjampoe-advertensie sê dat dit die pluizigheid met 'n persentasie verhoog. Sal ons ander voorbeelde soek van nuttige alledaagse gereedskap wat vir kriminele aktiwiteite gebruik kan word?

Gram!

Die titel van hierdie gedeelte is 'n werkwoord (eerste persoon meervoud) nie 'n selfstandige naamwoord (nominative meervoud van een duisendste van 'n kilogram). Harmonie impliseer orde en musiek. Vir die antieke Grieke was musiek ’n vertakking van die wetenskap – daar moet erken word dat as ons so sê, ons die huidige betekenis van die woord “wetenskap” oordra na die tyd voor ons era. Pythagoras het in die XNUMXde eeu vC geleef. Nie net het hy nie 'n rekenaar, selfoon en e-pos geken nie, maar hy het ook nie geweet wie Robert Lewandowski, Mieszko I, Karel die Grote en Cicero was nie. Hy het nie Arabiese of selfs Romeinse syfers geken nie (dit het in gebruik gekom omstreeks die XNUMXde eeu vC), hy het nie geweet wat die Puniese oorloë was nie ... Maar hy het musiek geken ...

Hy het geweet dat op snaarinstrumente die vibrasiekoëffisiënte omgekeerd eweredig was aan die lengte van die vibrerende dele van die snare. Hy het geweet, hy het geweet, hy kon dit net nie uitdruk soos ons dit vandag doen nie.

Die frekwensies van die twee snaarvibrasies waaruit 'n oktaaf ​​bestaan, is in 'n 1:2-verhouding, dit wil sê die frekwensie van die hoër noot is twee keer die frekwensie van die onderste een. Die korrekte vibrasieverhouding vir vyfde is 2:3, vierde is 3:4, suiwer majeur derde is 4:5, klein derde is 5:6. Dit is aangename konsonantintervalle. Dan is daar twee neutrale, met vibrasieverhoudings van 6:7 en 7:8, dan dissonante - 'n groot toon (8:9), 'n klein toon (9:10). Hierdie breuke (verhoudings) is soos die verhoudings van opeenvolgende lede van 'n ry wat wiskundiges (om hierdie rede) die harmoniese reeks noem:

is 'n teoreties oneindige som. Die verhouding van ossillasies van die oktaaf ​​kan geskryf word as 2:4 en plaas 'n vyfde tussen hulle: 2:3:4, dit wil sê, ons sal die oktaaf ​​in 'n vyfde en 'n vierde verdeel. Dit word harmoniese segmentverdeling in wiskunde genoem:

Rys. 1. Vir 'n musikant: verdeling van die oktaaf ​​AB in die vyfde AC.Vir Wiskundige: Harmoniese segmentering

Wat bedoel ek as ek (bo) praat van 'n teoreties oneindige som, soos die harmoniese reeks? Dit blyk dat so 'n som enige groot getal kan wees, die belangrikste ding is dat ons vir 'n lang tyd byvoeg. Daar is al hoe minder bestanddele, maar daar is al hoe meer van hulle. Wat seëvier? Hier betree ons die terrein van wiskundige analise. Dit blyk dat die bestanddele uitgeput is, maar nie baie vinnig nie. Ek sal wys dat deur genoeg bestanddele te neem, ek kan opsom:

arbitrêr groot. Kom ons neem "byvoorbeeld" n = 1024. Kom ons groepeer die woorde soos in die figuur getoon:

In elke parentese is elke woord groter as die vorige een, behalwe natuurlik die laaste een, wat gelyk is aan homself. In die volgende hakies het ons 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 en 512 komponente; die waarde van die som in elke hakies is groter as ½. Dit alles is meer as 5½. Meer akkurate berekeninge sal toon dat hierdie bedrag ongeveer 7,50918 is. Nie veel nie, maar altyd, en jy kan sien dat deur n enige groot te neem, ek enige getal beter kan presteer. Hierdie een is ongelooflik stadig (byvoorbeeld, ons top tien met bestanddele alleen), maar oneindige groei het wiskundiges nog altyd gefassineer.

Reis na die oneindigheid met die harmoniese reeks

Hier is 'n legkaart vir redelik ernstige wiskunde. Ons het 'n onbeperkte voorraad reghoekige blokke (wat kan ek sê, reghoekig!) met afmetings, sê, 4 × 2 × 1. Beskou 'n stelsel wat uit verskeie (op fig. 2 - vier) blokke, so gerangskik dat die eerste met ½ van sy lengte skuins, die tweede van bo met ¼ en so aan, die derde met een sesde. Wel, miskien om dit regtig stabiel te maak, laat ons die eerste baksteen 'n bietjie minder kantel. Dit maak nie saak vir berekeninge nie.

Rys. 2. Bepaling van die swaartepunt

Dit is ook maklik om te verstaan ​​dat aangesien die figuur saamgestel uit die eerste twee blokke (van bo af getel) 'n simmetriemiddelpunt by punt B het, dan is B die swaartepunt. Kom ons definieer meetkundig die swaartepunt van die sisteem, saamgestel uit die drie boonste blokke. 'n Baie eenvoudige argument is hier voldoende. Kom ons verdeel die drie-blok samestelling verstandelik in twee boonste en 'n derde onderste. Hierdie middelpunt moet op die gedeelte lê wat die swaartepunte van die twee dele verbind. Op watter tydstip in hierdie episode?

Daar is twee maniere om aan te wys. In die eerste sal ons die waarneming gebruik dat hierdie middelpunt in die middel van die drieblokpiramide moet lê, dit wil sê op 'n reguit lyn wat die tweede middelblok sny. Op die tweede manier verstaan ​​ons dat aangesien die twee boonste blokke 'n totale massa van twee keer dié van 'n enkele blok #3 (bo) het, die swaartepunt op hierdie gedeelte twee keer so naby aan B as aan die middel moet wees S van die derde blok. Net so vind ons die volgende punt: ons verbind die gevind middelpunt van die drie blokke met die middel S van die vierde blok. Die middelpunt van die hele stelsel is op hoogte 2 en by die punt wat die segment met 1 tot 3 deel (dit wil sê met ¾ van sy lengte).

Die berekeninge wat ons 'n bietjie verder gaan uitvoer lei tot die resultaat wat in Fig. fig. 3. Opeenvolgende swaartepunte word van die regterrand van die onderste blok verwyder deur:

Die projeksie van die swaartepunt van die piramide is dus altyd binne die basis. Die toring sal nie omval nie. Kom ons kyk nou na fig. 3 en vir 'n oomblik, kom ons gebruik die vyfde blok van bo as die basis (die een gemerk met die helderder kleur). Top geneig:

dus is sy linkerrand 1 verder as die regterrand van die basis. Hier is die volgende swaai:

Wat is die grootste swaai? Ons weet reeds! Daar is geen grootste nie! Deur selfs die kleinste blokkies te neem, kan jy 'n oorhang van een kilometer kry - ongelukkig net wiskundig: die hele aarde sou nie genoeg wees om soveel blokke te bou nie!

Rys. 3. Voeg meer blokke by

Nou die berekeninge wat ons hierbo gelaat het. Ons sal alle afstande "horisontaal" op die x-as bereken, want dit is al wat daar is. Punt A (die swaartepunt van die eerste blok) is 1/2 van die regterrand af. Punt B (die middelpunt van die tweeblokstelsel) is 1/4 weg van die regterrand van die tweede blok. Laat die beginpunt die einde van die tweede blok wees (nou gaan ons verder na die derde). Byvoorbeeld, waar is die swaartepunt van enkelblok #3? Die helfte van die lengte van hierdie blok is dus 1/2 + 1/4 = 3/4 vanaf ons verwysingspunt. Waar is punt C? In twee derdes van die segment tussen 3/4 en 1/4, dit wil sê by die punt voor, verander ons die verwysingspunt na die regterrand van die derde blok. Die swaartepunt van die drieblokstelsel word nou van die nuwe verwysingspunt verwyder, ensovoorts. Swaartepunt C_n 'n toring wat uit n blokke bestaan ​​is 1/2n weg van die oombliklike verwysingspunt, wat die regterrand van die basisblok is, dit wil sê die nde blok van bo af.

Aangesien die reeks wederkeriges verskil, kan ons enige groot variasie kry. Kan dit werklik geïmplementeer word? Dit is soos 'n eindelose baksteentoring - vroeër of later sal dit onder sy eie gewig ineenstort. In ons skema beteken die minimale onakkuraathede in blokplasing (en die stadige toename in gedeeltelike somme van die reeks) dat ons nie baie ver sal kom nie.