Lem, Tokarczuk, Krakow, wiskunde

Op 3-7 September 2019 het die herdenkingskongres van die Poolse Wiskundige Vereniging in Krakow plaasgevind. Herdenking, want die eeufees van die stigting van die Genootskap. Dit het van die 1ste jaar af in Galicië bestaan ​​(sonder die byvoeglike naamwoord dat die Pools-liberalisme van die keiser FJ1919 sy grense gehad het), maar as 'n landwye organisasie het dit eers vanaf 1919 bedryf. Groot vooruitgang in Poolse wiskunde dateer terug na die 1939's XNUMX-XNUMX. XNUMX by die Jan Casimir Universiteit in Lviv, maar die konvensie kon nie daar plaasvind nie - en dit is ook nie die beste idee nie.

Die vergadering was baie feestelik, vol gepaardgaande geleenthede (insluitend 'n optrede deur Jacek Wojcicki by die kasteel in Niepolomice). Die hooflesings is deur 28 sprekers gelewer. Hulle was in Pools omdat die genooide gaste Pole was – nie noodwendig in die sin van burgerskap nie, maar hulleself as Pole erken. O ja, net dertien dosente het van Poolse wetenskaplike instellings gekom, die oorblywende vyftien kom uit die VSA (7), Frankryk (4), Engeland (2), Duitsland (1) en Kanada (1). Wel, dit is 'n bekende verskynsel in sokkerligas.

Die bestes presteer voortdurend in die buiteland. Dit is 'n bietjie hartseer, maar vryheid is vryheid. Verskeie Poolse wiskundiges het oorsese loopbane gemaak wat in Pole onbereikbaar is. Geld speel hier ’n sekondêre rol, maar ek wil nie oor sulke onderwerpe skryf nie. Miskien net twee opmerkings.

In Rusland, en voor dit in die Sowjetunie, was en is dit op die mees bewustelike vlak ... en op een of ander manier wil niemand daarheen emigreer nie. Op hul beurt, in Duitsland, doen sowat 'n dosyn kandidate aansoek vir 'n professoraat by enige universiteit (kollegas van die Universiteit van Konstanz het gesê dat hulle 120 aansoeke in 'n jaar gehad het, waarvan 50 baie goed was en 20 uitstekend).

Min van die Jubileum-kongres-lesings kan in ons maandelikse joernaal opgesom word. Opskrifte soos "Perke van yl grafieke en hul toepassings" of "Lineêre struktuur en meetkunde van subruimtes en faktorruimtes vir hoë-dimensionele genormaliseerde ruimtes" sal die gemiddelde leser niks vertel nie. Die tweede onderwerp is deur my vriend van die eerste kursusse bekendgestel, Nicole Tomchak.

'n Paar jaar gelede is sy genomineer vir die prestasie wat in hierdie lesing aangebied is. Fields-medalje is die ekwivalent vir wiskundiges. Tot dusver het net een vrou dié toekenning ontvang. Ook opmerklik is die lesing Anna Marciniak-Chokhra (Heidelberg Universiteit) "Die rol van meganistiese wiskundige modelle in medisyne op die voorbeeld van leukemie modellering".

medisyne ingeskryf het. By die Universiteit van Warskou het 'n groep onder leiding van prof. Jerzy Tyurin.

Die titel van die lesing sal vir lesers onverstaanbaar wees Veslava Niziol (z prestiżowej Hoër Pedagogiese Skool) "-adiese Hodge-teorie". Dit is nietemin hierdie lesing wat ek besluit het om hier te bespreek.

Meetkunde-adiese wêrelde

Dit begin met eenvoudige klein dingetjies. Onthou jy, Leser, die metode van skriftelike uitruiling? Beslis. Dink terug aan die sorgelose jare van laerskool. Deel 125051 deur 23 (dit is die aksie aan die linkerkant). Weet jy dat dit anders kan wees (aksie aan die regterkant)?

Hierdie nuwe metode is interessant. Ek gaan van die einde af. Ons moet 125051 deur 23 deel. Waarmee moet ons 23 vermenigvuldig sodat die laaste syfer 1 is? Soek in geheue en ons het :=7. Die laaste syfer van die resultaat is 7. Vermenigvuldig, trek af, ons kry 489. Hoe vermenigvuldig jy 23 om op 9 te eindig? Natuurlik, met 3. Ons kom by die punt waar ons al die getalle van die resultaat bepaal. Ons vind dit onprakties en moeiliker as ons gewone metode - maar dit is 'n kwessie van oefening!

Dinge neem 'n ander wending wanneer die dapper man nie heeltemal deur die deler verdeel word nie. Kom ons doen die verdeling en kyk wat gebeur.

Aan die linkerkant is 'n tipiese skoolbaan. Regs is "ons vreemdelinge".

Ons kan albei resultate nagaan deur te vermenigvuldig. Ons verstaan ​​die eerste: een derde van die getal 4675 is eenduisend vyfhonderd agt en vyftig, en drie in die tydperk. Die tweede een maak nie sin nie: wat word hierdie getal voorafgegaan deur 'n oneindige aantal sesse en dan 8225?

Kom ons los die kwessie van betekenis vir 'n oomblik. Kom ons speel. So kom ons deel 1 deur 3 en dan 1 deur 7 wat een derde en een sewende is. Ons kan maklik kry:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Hierdie laaste reël beteken: blok 285714 herhaal onbepaald aan die begin, en uiteindelik is daar drie van hulle. Vir diegene wat nie glo nie, hier is 'n toets:

Kom ons voeg nou breuke by:

Dan tel ons die vreemde nommers wat ontvang is bymekaar, en ons kry (merk) dieselfde vreemde nommer.

......95238095238095238095238010

Ons kan seker maak dat dit gelyk is aan

Die kern moet nog gesien word, maar die rekenkunde is korrek.

Nog 'n voorbeeld.

Die gewone, hoewel groot, nommer 40081787109376 het 'n interessante eienskap: sy vierkant eindig ook in 40081787109376. die nommer x40081787109376, wat is (x40081787109376)² eindig ook in x40081787109376.

Wenk. Ons het 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, dus is die volgende syfer drie tot tien se komplement, wat 7 is. Kom ons kyk: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Die vraag hoekom dit so is, is 'n moeilike een. Dit is makliker: vind soortgelyke eindes vir getalle wat eindig op 5. Deur die proses voort te gaan om die volgende syfers onbepaald te vind, sal ons by sulke "getalle" kom dat ²=²= (en nie een van hierdie getalle is gelyk aan nul of een nie).

ons verstaan ​​goed. Hoe verder na die desimale punt, hoe minder belangrik is die getal. In ingenieursberekeninge is die eerste syfer na die desimale punt belangrik, sowel as die tweede, maar in baie gevalle kan aanvaar word dat die verhouding van die omtrek van 'n sirkel tot sy deursnee 3,14 is. Natuurlik moet meer getalle by die lugvaartbedryf ingesluit word, maar ek dink nie daar sal meer as tien wees nie.

Die naam het in die titel van die artikel verskyn Stanislav Lem (1921-2006), asook ons ​​nuwe Nobelpryswenner. Dame Olga Tokarchuk Ek het dit net genoem omdat skreiende onregDie feit is dat Stanislav Lem nie die Nobelprys vir Letterkunde ontvang het nie. Maar dit is nie in ons hoek nie.

Lem het dikwels die toekoms voorsien. Hy het gewonder wat sou gebeur wanneer hulle onafhanklik van mense word. Hoeveel films oor hierdie onderwerp het die afgelope tyd verskyn! Lem het die optiese leser en die farmakologie van die toekoms redelik akkuraat voorspel en beskryf.

Hy het wiskunde geken, alhoewel hy dit soms as 'n sieraad behandel het, nie omgegee oor die korrektheid van die berekeninge nie. Byvoorbeeld, in die verhaal "Trial", gaan die Pirks-vlieënier in 'n wentelbaan B68 met 'n rotasieperiode van 4 uur en 29 minute, en die instruksie is 4 uur en 26 minute. Hy onthou dat hulle met 'n fout van 0,3 persent bereken het. Hy gee die data aan die sakrekenaar, en die sakrekenaar antwoord dat alles reg is ... Wel, nee. Drie tiendes van 'n persent van 266 minute is minder as 'n minuut. Maar verander hierdie fout iets? Miskien was dit doelbewus?

Hoekom skryf ek hieroor? Baie wiskundiges het ook hierdie vraag geopper: stel jou 'n gemeenskap voor. Hulle het nie ons menslike verstand nie. Vir ons is 1609,12134 en 1609,23245 baie nabye getalle - goeie benaderings tot die Engelse myl. Rekenaars kan egter die nommers 468146123456123456 en 9999999123456123456 as naby beskou. Hulle het dieselfde twaalfsyfer eindes.

Hoe meer algemene syfers aan die einde, hoe nader is die getalle. En dit lei tot die sogenaamde afstand -adic. Laat p vir 'n oomblik gelyk aan 10 wees; hoekom net "vir 'n rukkie", sal ek verduidelik ... nou. Die 10 punt afstand van die getalle hierbo geskryf is 

of een miljoenste - want hierdie getalle het ses algemene syfers aan die einde. Alle heelgetalle verskil van nul met een of minder. Ek sal nie eers 'n sjabloon skryf nie, want dit maak nie saak nie. Hoe meer identiese getalle aan die einde, hoe nader is die getalle (vir 'n persoon, inteendeel, word die aanvanklike getalle oorweeg). Dit is belangrik dat p 'n priemgetal is.

Dan - hulle hou van nulle en ene, so hulle sien alles in hierdie patrone: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

In die roman Glos Pana huur Stanisław Lem wetenskaplikes om 'n boodskap wat uit die hiernamaals gestuur is, te probeer lees, gekodeer nul-een natuurlik. Skryf iemand vir ons? Lem voer aan dat "enige boodskap gelees kan word as dit 'n boodskap is dat iemand vir ons iets wou vertel." Maar is dit? Ek sal lesers met hierdie dilemma laat.

Ons leef in XNUMXD-ruimte R³. Brief R onthou dat die asse bestaan ​​uit reële getalle, dit wil sê heelgetalle, negatief en positief, nul, rasionaal (d.i. breuke) en irrasioneel, wat lesers op skool ontmoet het (), en getalle bekend as transendentale getalle, ontoeganklik in algebra (dit is die getal π , wat al meer as tweeduisend jaar die deursnee van 'n sirkel met sy omtrek verbind).

Wat as die asse van ons ruimte -adiese getalle was?

Jerzy Mioduszowski, 'n wiskundige aan die Universiteit van Silesië, voer aan dat dit so kan wees, en selfs dat dit so kan wees. Ons kan (sê Jerzy Mioduszewski) saam met sulke wesens dieselfde plek in die ruimte inneem, sonder om in te meng en sonder om mekaar te sien.

So, ons het al die meetkunde van "hul" wêreld om te verken. Dit is onwaarskynlik dat "hulle" dieselfde oor ons dink en ook ons ​​meetkunde bestudeer, want ons s'n is 'n grensgeval van al "hul" wêrelde. “Hulle”, dit wil sê al die helse wêrelde, waar hulle priemgetalle is. In die besonder, = 2 en hierdie fassinerende wêreld van nul-een ...

Hier kan die leser van die artikel kwaad en selfs kwaad word. "Is dit die soort snert wat wiskundiges doen?" Hulle fantaseer daaroor om na ete vodka te drink, met my (=belastingbetaler) se geld. En versprei hulle in vier winde, laat hulle na staatsplase toe gaan ... o, daar is nie meer staatsplase nie!

Ontspan. hulle het altyd 'n voorliefde vir sulke grappe gehad. Laat ek net die toebroodjiestelling noem: as ek 'n kaas- en hamtoebroodjie het, kan ek dit in een snit sny om die broodjie, ham en kaas te halveer. Dit is nutteloos in die praktyk. Die punt is dat dit net 'n speelse toepassing is van 'n interessante algemene stelling uit funksionele analise.

Hoe ernstig is dit om te gaan met -adiese getalle en verwante meetkunde? Laat ek die leser daaraan herinner dat rasionale getalle (simplisties: breuke) dig op die lyn lê, maar dit nie nou vul nie.

Irrasionale getalle leef in "gate". Daar is baie, oneindig baie van hulle, maar jy kan ook sê dat hulle oneindigheid groter is as dié van die eenvoudigstes, waarin ons tel: een, twee, drie, vier ... en so aan tot by ∞. Dit is ons menslike vul van "gate". Ons het hierdie geestelike struktuur geërf van Pythagoreërs. 

Maar wat vir 'n wiskundige interessant en belangrik is, is dat 'n mens nie hierdie gate met irrasionele en p-adiese getalle (vir alle priemgetalle p) kan "vul" nie. Vir die lesers wat dit verstaan ​​(en dit is dertig jaar gelede in elke hoërskool geleer), is die punt dat elke volgorde wat bevredig Cauchy se toestand, konvergeer.

'n Ruimte waarin dit waar is, word volledig genoem ("niks ontbreek nie"). Ek sal die nommer 547721051611007740081787109376 onthou.

Die ry 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 ensovoorts konvergeer na 'n sekere limiet, wat ongeveer 0,5477210516110077400 81787109376 is.

Uit die oogpunt van 10-adiese afstand konvergeer die volgorde van getalle 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 ensovoorts egter ook na die "vreemde" getal ... 547721051 611007740081787109376.

Maar selfs dit is dalk nie genoeg rede om wetenskaplikes openbare geld te gee nie. Oor die algemeen verdedig ons (wiskundiges) onsself deur te sê dat dit onmoontlik is om te voorspel waarvoor ons navorsing nuttig sal wees. Dit is amper seker dat almal van een of ander nut sal wees en dat slegs optrede op 'n breë front 'n kans op sukses het.

Een van die grootste uitvindings, die X-straalmasjien, is geskep nadat radioaktiwiteit per ongeluk ontdek is becquerel. As nie vir hierdie geval nie, sou baie jare se navorsing waarskynlik nutteloos gewees het. "Ons soek 'n manier om 'n x-straal van die menslike liggaam te neem."

Ten slotte, die belangrikste ding. Almal stem saam dat die vermoë om vergelykings op te los 'n rol speel. En hier is ons vreemde getalle goed beskerm. Die ooreenstemmende stelling (Ek haat minkowski) sê dat sommige vergelykings in rasionale getalle opgelos kan word as en slegs as hulle reële wortels en wortels in elke -adiese liggaam het.

Min of meer hierdie benadering is voorgehou Andrew Wiles, wat die bekendste wiskundige vergelyking van die afgelope driehonderd jaar opgelos het - ek beveel lesers aan om dit in 'n soekenjin in te voer "Fermat se laaste stelling".