Meetkundige paaie en ruigtes

Terwyl ek hierdie artikel geskryf het, het ek 'n baie ou liedjie van Jan Pietrzak onthou, wat hy voor sy satiriese aktiwiteit in die kabaret Pod Egidą gesing het, wat in die Poolse Volksrepubliek erken word as 'n veiligheidsklep; mens kon eerlik lag vir die paradokse van die stelsel. In hierdie liedjie het die skrywer sosialistiese politieke deelname aanbeveel, diegene wat apolities wil wees belaglik gemaak en die radio in die koerant afgeskakel. "Dit is beter om terug te gaan skool toe," het die destyds XNUMX-jarige Petshak ironies gesing.

Ek gaan terug skool toe en lees. Ek herlees (nie vir die eerste keer nie) die boek van Shchepan Yelensky (1881-1949) “Lylavati”. Vir min lesers sê die woord self iets. Dit is die naam van die dogter van die beroemde Hindoe-wiskundige bekend as Bhaskara (1114-1185), genaamd Akaria, of die wyse wat sy boek oor algebra met daardie naam getitel het. Lilavati het later self 'n bekende wiskundige en filosoof geword. Volgens ander bronne was dit sy wat die boek self geskryf het.

Szczepan Yelensky het dieselfde titel gegee aan sy boek oor wiskunde (eerste uitgawe, 1926). Dit kan selfs moeilik wees om hierdie boek 'n wiskundige werk te noem - dit was meer 'n stel raaisels, en grootliks oorgeskryf uit Franse bronne (kopieregte in die moderne sin het nie bestaan ​​nie). Dit was in elk geval vir baie jare die enigste gewilde Poolse boek oor wiskunde – later is Jelensky se tweede boek, Pythagoras se lekkers, daarby gevoeg. So jongmense wat in wiskunde belangstel (wat presies is wat ek eens was) het niks gehad om van te kies nie ...

aan die ander kant moes "Lilavati" amper uit die kop geken word... Ag, daar was tye... Hulle grootste voordeel was dat ek toe... 'n tiener was. Vandag, uit die oogpunt van 'n goed opgeleide wiskundige, kyk ek op 'n heel ander manier na Lilavati - miskien soos 'n klimmer op die draaie van die paadjie na Shpiglasova Pshelench. Nie die een of die ander verloor sy sjarme nie ... In sy kenmerkende styl skryf Shchepan Yelensky, wat die sogenaamde nasionale idees in sy persoonlike lewe bely, hy skryf in die voorwoord:

Sonder om die beskrywing van nasionale kenmerke aan te raak, sal ek sê dat selfs na negentig jaar, het Yelensky se woorde oor wiskunde nie hul relevansie verloor nie. Wiskunde leer jou dink. Dit is 'n feit. Kan ons jou leer om anders, eenvoudiger en mooier te dink? Kan wees. Dis net... ons kan steeds nie. Ek verduidelik vir my studente wat nie wiskunde wil doen nie dat dit ook 'n toets van hul intelligensie is. As jy nie werklik eenvoudige wiskundeteorie kan leer nie, dan... is jou verstandelike vermoëns dalk slegter as wat ons albei sou wou hê...?

Tekens in die sand

En hier is die eerste verhaal in "Lylavati" - 'n verhaal wat beskryf is deur die Franse filosoof Joseph de Maistre (1753-1821).

'n Matroos van 'n skip wat verwoes is, is deur branders op 'n leë kus gegooi, wat hy as onbewoon beskou het. Skielik, in die kussand, sien hy 'n spoor van 'n meetkundige figuur wat voor iemand geteken is. Dit is toe dat hy besef dat die eiland nie verlate is nie!

Met De Mestri aanhaal, skryf Yelensky: meetkundige figuurdit sou 'n stomme uitdrukking vir die ongelukkige, skipbreukelinge, toeval gewees het, maar hy het hom met 'n oogopslag proporsie en getal gewys, en dit het 'n verligte man ingelui. Soveel vir geskiedenis.

Let daarop dat 'n matroos dieselfde reaksie sal veroorsaak, byvoorbeeld deur die letter K, ... en enige ander spore van 'n persoon se teenwoordigheid te teken. Hier word die meetkunde geïdealiseer.

Die sterrekundige Camille Flammarion (1847-1925) het egter voorgestel dat beskawings mekaar met behulp van meetkunde van 'n afstand af groet. Hy het hierin die enigste korrekte en moontlike poging tot kommunikasie gesien. Kom ons wys vir sulke Marsmanne die Pythagorese driehoeke... hulle sal ons antwoord met Thales, ons sal hulle antwoord met Vieta-patrone, hul sirkel sal in 'n driehoek pas, so 'n vriendskap het begin...

Skrywers soos Jules Verne en Stanislav Lem het na hierdie idee teruggekeer. En in 1972 is teëls met geometriese (en nie net) patrone aan boord van die Pioneer-sonde geplaas, wat steeds die ruimtes deurkruis, nou byna 140 astronomiese eenhede van ons af (1 I is die gemiddelde afstand van die Aarde vanaf die Aarde) . Son, d.w.s. ongeveer 149 miljoen km). Die teël is gedeeltelik ontwerp deur die sterrekundige Frank Drake, skepper van die omstrede reël oor die aantal buiteaardse beskawings.

Meetkunde is wonderlik. Ons ken almal die algemene standpunt oor die oorsprong van hierdie wetenskap. Ons (ons mense) het pas begin om die grond (en later die grond) vir die mees utilitaristiese doeleindes te meet. Om afstande te bepaal, reguit lyne te trek, regte hoeke te merk en volumes te bereken het geleidelik 'n noodsaaklikheid geword. Vandaar die hele ding meetkunde ("Meeting van die aarde"), vandaar alle wiskunde ...

Hierdie duidelike beeld van die geskiedenis van die wetenskap het ons egter vir 'n geruime tyd vertroebel. Want as wiskunde slegs vir operasionele doeleindes nodig was, sou ons nie besig wees om eenvoudige stellings te bewys nie. "Jy sien dat dit hoegenaamd waar moet wees," sou 'n mens sê nadat jy nagegaan het dat in verskeie reghoekige driehoeke die som van die vierkante van die skuinssye gelyk is aan die kwadraat van die skuinssy. Hoekom so formalisme?

Pruimtert moet lekker wees, die rekenaarprogram moet werk, die masjien moet werk. As ek die inhoud van die vat dertig keer getel het en alles is in orde, hoekom dan anders?

Intussen het dit by die antieke Grieke opgekom dat 'n paar formele bewyse gevind moes word.

Dus, wiskunde begin met Thales (625-547 vC). Daar word aanvaar dat dit Milete was wat begin wonder het hoekom. Dit is nie genoeg vir slim mense dat hulle iets gesien het, dat hulle oortuig is van iets nie. Hulle het die behoefte aan bewys gesien, 'n logiese volgorde van argumente van aanname tot tesis.

Hulle wou ook meer hê. Dit was waarskynlik Thales wat eers probeer het om fisiese verskynsels op 'n naturalistiese wyse te verklaar, sonder goddelike ingryping. Europese filosofie het begin met die natuurfilosofie – met wat reeds agter fisika skuil (vandaar die naam: metafisika). Maar die fondamente van Europese ontologie en natuurfilosofie is deur die Pythagoreërs gelê (Pythagoras, omstreeks 580-c. 500 v.C.).

Hy het sy eie skool in Crotone in die suide van die Apennine-skiereiland gestig – vandag sou ons dit 'n sekte noem. Wetenskap (in die huidige sin van die woord), mistiek, godsdiens en fantasie is almal nou verweef. Thomas Mann het die lesse van wiskunde baie mooi in 'n Duitse gimnasium aangebied in die roman Doctor Faustus. Vertaal deur Maria Kuretskaya en Witold Virpsha, lees hierdie fragment:

In Charles van Doren se interessante boek, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, het ek ’n baie interessante standpunt gevind. In een van die hoofstukke beskryf die skrywer die betekenis van die Pythagorese skool. Die einste titel van die hoofstuk het my opgeval. Dit lees: "The Invention of Mathematics: The Pythagoreans".

Ons bespreek dikwels of wiskundige teorieë ontdek word (bv. onbekende lande) of uitgevind word (bv. masjiene wat nie voorheen bestaan ​​het nie). Sommige kreatiewe wiskundiges sien hulself as navorsers, ander as uitvinders of ontwerpers, minder dikwels teë.

Maar die skrywer van hierdie boek skryf oor die uitvinding van wiskunde in die algemeen.

Van oordrywing tot dwaling

Na hierdie lang inleidende deel gaan ek verder na die heel begin. meetkundeom te beskryf hoe 'n oormatige vertroue op meetkunde 'n wetenskaplike kan mislei. Johannes Kepler is in fisika en sterrekunde bekend as die ontdekker van die drie bewegingswette van hemelliggame. Eerstens beweeg elke planeet in die sonnestelsel om die son in 'n elliptiese wentelbaan, by een van die brandpunte waarvan die son is. Tweedens, met gereelde tussenposes trek die voorste straal van die planeet, getrek vanaf die Son, gelyke velde. Derdens is die verhouding van die kwadraat van die omwentelingsperiode van 'n planeet om die Son tot die kubus van die semi-hoofas van sy wentelbaan (d.i. die gemiddelde afstand vanaf die Son) konstant vir alle planete in die sonnestelsel.

Miskien was dit die derde wet – dit het baie data en berekeninge vereis om dit vas te stel, wat Kepler aangespoor het om voort te gaan soek na patrone in die beweging en posisie van die planete. Die geskiedenis van sy nuwe “ontdekking” is baie leersaam. Sedert die oudheid het ons nie net gereelde veelvlakke bewonder nie, maar ook argumente wat toon dat daar net vyf van hulle in die ruimte is. ’n Driedimensionele veelvlak word gereeld genoem as sy vlakke identiese reëlmatige veelhoeke is en elke hoekpunt dieselfde aantal rande het. Ter illustratie moet elke hoek van 'n gewone veelvlak "eens lyk". Die bekendste veelvlak is die kubus. Almal het 'n gewone enkel gesien.

Die gereelde tetraëder is minder bekend, en op skool word dit die gereelde driehoekige piramide genoem. Dit lyk soos 'n piramide. Die oorblywende drie gereelde veelvlakke is minder bekend. 'n Oktaëder word gevorm wanneer ons die middelpunte van die rande van 'n kubus verbind. Die dodekaëder en ikosaëder lyk reeds soos balle. Gemaak van sagte leer, sal hulle gemaklik wees om te grawe. Die redenasie dat daar geen gereelde veelvlakke anders as die vyf Platoniese vastestowwe is nie, is baie goed. Eerstens besef ons dat as die liggaam reëlmatig is, dan moet dieselfde aantal (laat q) identiese reëlmatige veelhoeke by elke hoekpunt konvergeer, laat dit p-hoeke wees. Nou moet ons onthou wat die hoek in 'n gereelde veelhoek is. As iemand nie van skool af onthou nie, herinner ons jou hoe om die regte patroon te vind. Ons het 'n rit om die draai gemaak. By elke hoekpunt draai ons deur dieselfde hoek a. Wanneer ons om die veelhoek gaan en terugkeer na die beginpunt, het ons sulke draaie gemaak, en in totaal het ons 360 grade gedraai.

Maar α is 180 grade se komplement van die hoek wat ons wil bereken, en is dus

Ons het die formule gevind vir die hoek ('n wiskundige sou sê: mate van 'n hoek) van 'n reëlmatige veelhoek. Kom ons kyk: in die driehoek p = 3 is daar geen a nie

Soos hierdie. Wanneer p = 4 (vierkant), dan

grade is ook goed.

Wat kry ons vir 'n vyfhoek? Wat gebeur dus as daar q veelhoeke is, elke p het dieselfde hoeke

 grade daal by een hoekpunt? As dit op 'n vliegtuig was, sou 'n hoek gevorm word

grade en kan nie meer as 360 grade wees nie - want dan oorvleuel die veelhoeke.

Aangesien hierdie veelhoeke egter in die ruimte ontmoet, moet die hoek kleiner as die volle hoek wees.

En hier is die ongelykheid waaruit dit alles volg:

Deel dit deur 180, vermenigvuldig beide dele met p, orde (p-2) (q-2) < 4. Wat volg? Kom ons wees bewus daarvan dat p en q natuurlike getalle moet wees en dat p > 2 (hoekom? En wat is p?) en ook q > 2. Daar is nie baie maniere om die produk van twee natuurlike getalle minder as 4 te maak nie. Ons sal hulle almal lys in tabel 1.

Ek plaas nie tekeninge nie, almal kan hierdie figure op die Internet sien... Op die Internet... Ek sal nie 'n liriese afwyking weier nie - miskien is dit interessant vir jong lesers. In 1970 het ek by 'n seminaar gepraat. Die onderwerp was moeilik. Ek het min tyd gehad om voor te berei, ek het in die aande gesit. Die hoofartikel was leesalleen in plek. Die plek was knus, met 'n werkende atmosfeer, wel, dit het om sewe gesluit. Toe bied die bruid (nou my vrou) self aan om die hele artikel vir my oor te skryf: omtrent 'n dosyn gedrukte bladsye. Ek het dit gekopieer (nee, nie met 'n veerpen nie, ons het selfs penne gehad), die lesing was 'n sukses. Vandag het ek probeer om hierdie publikasie te vind, wat reeds oud is. Ek onthou net die naam van die skrywer... Soektogte op die internet het lank geduur... 'n volle vyftien minute. Ek dink daaroor met 'n glimlag en 'n bietjie ongeregverdigde spyt.

Ons gaan terug na Keplera en meetkunde. Blykbaar het Plato die bestaan ​​van die vyfde reëlmatige vorm voorspel omdat hy iets ontbreek het wat die hele wêreld dek. Miskien is dit hoekom hy 'n student (Theajtet) opdrag gegee het om na haar te soek. Soos dit was, so was dit, op grond waarvan die dodekaëder ontdek is. Ons noem hierdie houding van Plato panteïsme. Alle wetenskaplikes, tot by Newton, het in 'n mindere of meerdere mate daarvoor beswyk. Sedert die hoogs rasionele agtiende eeu het die invloed daarvan drasties verminder, hoewel ons nie skaam moet wees oor die feit dat ons almal op een of ander manier daarvoor swig nie.

In Kepler se konsep van die bou van die sonnestelsel was alles korrek, die eksperimentele data het saamgeval met die teorie, die teorie was logies samehangend, baie mooi ... maar heeltemal onwaar. In sy tyd was net ses planete bekend: Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter en Saturnus. Hoekom is daar net ses planete? het Kepler gevra. En watter reëlmaat bepaal hul afstand vanaf die Son? Hy het aangeneem dat alles met mekaar verband hou, dit meetkunde en kosmogonie is nou verwant aan mekaar. Uit die geskrifte van die antieke Grieke het hy geweet dat daar net vyf gereelde veelvlakke was. Hy het gesien dat daar vyf leemtes tussen die ses bane was. So miskien stem elkeen van hierdie vrye spasies ooreen met een of ander gereelde veelvlak?

Na etlike jare van waarneming en teoretiese werk het hy die volgende teorie geskep, met behulp waarvan hy die afmetings van die wentelbane, wat hy in die boek "Mysterium Cosmographicum", wat in 1596 gepubliseer het, redelik akkuraat bereken het: Stel jou voor 'n reuse-bol, waarvan die deursnee die deursnee is van die wentelbaan van Mercurius in sy jaarlikse beweging om die son. Stel jou dan voor dat daar op hierdie sfeer 'n gereelde oktaëder is, daarop 'n sfeer, daarop 'n ikosaëder, daarop weer 'n sfeer, daarop 'n dodekaëder, daarop 'n ander sfeer, daarop 'n tetraëder, dan weer 'n sfeer, 'n kubus en, ten slotte, op hierdie kubus word die bal beskryf.

Kepler het tot die gevolgtrekking gekom dat die deursnee van hierdie opeenvolgende sfere die diameters van die bane van ander planete was: Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter en Saturnus. Dit het gelyk of die teorie baie akkuraat was. Ongelukkig het dit saamgeval met die eksperimentele data. En watter beter bewys van die korrektheid van 'n wiskundige teorie as die ooreenstemming daarvan met eksperimentele data of waarnemingsdata, veral "uit die hemel geneem"? Ek som hierdie berekeninge op in Tabel 2. So wat het Kepler gedoen? Ek het probeer en probeer totdat dit uitgewerk het, dit wil sê toe die konfigurasie (volgorde van sfere) en die gevolglike berekeninge saamgeval het met die waarnemingsdata. Hier is moderne Kepler-syfers en berekeninge:

’n Mens kan swig voor die fassinasie van die teorie en glo dat die metings in die lug onakkuraat is, en nie die berekeninge wat in die stilte van die werkswinkel gemaak is nie. Ongelukkig weet ons vandag dat daar ten minste nege planete is en dat alle toevallighede van resultate net 'n toeval is. N jammerte. Dit was so mooi...