SO AAN WIE, dit wil sê: PROBEER WAAR JY KAN - deel 2

In die vorige episode het ons gehandel oor Sudoku, 'n rekenspeletjie waarin getalle basies volgens sekere reëls in verskeie diagramme gerangskik word. Die mees algemene variant is 'n 9×9 skaakbord, addisioneel verdeel in nege 3×3 selle. Die getalle van 1 tot 9 moet daarop gestel word sodat hulle nie in 'n vertikale ry (wiskundiges sê: in 'n kolom) of in 'n horisontale ry (wiskundiges sê: in 'n ry) herhaal nie - en bowendien sodat hulle herhaal nie. herhaal binne enige kleiner vierkant.

Na fig. 1 ons sien hierdie legkaart in 'n eenvoudiger weergawe, wat 'n vierkant van 6 × 6 is wat in reghoeke van 2 × 3 verdeel is. Ons voeg die getalle 1, 2, 3, 4, 5, 6 daarin in - sodat hulle nie vertikaal herhaal nie, ook nie horisontaal, ook nie in elk van die geselekteerde seshoeke nie.

Kom ons probeer dit in die boonste vierkant gewys word. Kan jy dit invul met nommers van 1 tot 6 volgens die reëls wat vir hierdie speletjie gestel is? Dit is moontlik – maar dubbelsinnig. Kom ons kyk - teken 'n vierkant aan die linkerkant of 'n vierkant aan die regterkant.

Ons kan sê dat dit nie die basis vir die legkaart is nie. Ons neem gewoonlik aan dat 'n legkaart een oplossing het. Die taak om verskillende basisse vir die "groot" Sudoku, 9x9, te vind, is 'n moeilike taak en daar is geen kans om dit heeltemal op te los nie.

Nog 'n belangrike verband is die teenstrydige stelsel. Die onderste middelste vierkant (die een met die nommer 2 in die onderste regterhoek) kan nie voltooi word nie. Hoekom?

Pret en toevlugsoorde

Ons speel voort. Kom ons gebruik kinders se intuïsie. Hulle glo dat vermaak 'n inleiding tot leer is. Kom ons gaan die ruimte in. aangeskakel fig. 2 almal sien die rooster tetraëdervan balle, byvoorbeeld tafeltennisballe? Onthou skoolmeetkundelesse. Die kleure aan die linkerkant van die prentjie verduidelik waaraan dit vasgeplak word wanneer die blok saamgestel word. In die besonder sal drie hoek (rooi) balle in een vasgeplak word. Daarom moet hulle dieselfde getal wees. Miskien 9. Hoekom? En hoekom nie?

O, ek het dit nie geformuleer nie take. Dit klink so iets: is dit moontlik om die getalle van 0 tot 9 in die sigbare rooster in te skryf sodat elke gesig al die getalle bevat? Die taak is nie moeilik nie, maar hoeveel moet jy jou voorstel! Ek sal nie die plesier van lesers bederf nie en sal nie 'n oplossing gee nie.

Dit is 'n baie mooi en onderskatte vorm. gereelde oktaëder, gebou uit twee piramides (=piramides) met 'n vierkantige basis. Soos die naam aandui, het die oktaëder agt vlakke.

Daar is ses hoekpunte in 'n oktaëder. Dit weerspreek kubuswat ses vlakke en agt hoekpunte het. Die rande van albei knoppe is dieselfde - twaalf elk. Hierdie dubbele vaste stowwe - dit beteken dat deur die middelpunte van die vlakke van die kubus te verbind ons 'n oktaëder kry, en die middelpunte van die vlakke van die oktaëder sal vir ons 'n kubus gee. Albei hierdie stampe presteer ("omdat hulle moet") Euler se formule: Die som van die aantal hoekpunte en die aantal vlakke is 2 meer as die aantal rande.

3. 'n Gereelde oktaëder in parallelle projeksie en 'n oktaëderrooster wat uit sfere saamgestel is op so 'n manier dat elke rand vier sfere het.

Taak 1. Skryf eers die laaste sin van die vorige paragraaf neer deur 'n wiskundige formule te gebruik. Op die fig. 3 jy sien 'n oktaëdriese rooster wat ook uit sfere bestaan. Elke rand het vier balle. Elke gesig is 'n driehoek van tien sfere. Die probleem word onafhanklik gestel: is dit moontlik om nommers van 0 tot 9 in die sirkels van die rooster te plaas sodat elke muur al die nommers bevat nadat 'n soliede liggaam vasgeplak is (dit volg sonder herhaling). Soos voorheen is die grootste probleem in hierdie taak hoe die gaas in 'n soliede liggaam omskep word. Ek kan dit nie skriftelik verduidelik nie, so ek gee ook nie die oplossing hier nie.

4. Twee ikosaëders van tafeltennisballe. Let op die verskillende kleurskemas.

reeds Plato (en hy het in die XNUMXde-XNUMXde eeue vC geleef) het al die gereelde veelvlakke geken: tetraëder, kubus, oktaëder, dodekaëder i ikosaëder. Dit is ongelooflik hoe hy daar gekom het – geen potlood, geen papier, geen pen, geen boeke, geen slimfoon, geen internet! Ek sal nie hier oor die dodekaëder praat nie. Maar die icosahedral sudoku is interessant. Ons sien hierdie knop aan illustrasie 4en sy netwerk fig. 5.

5. Gereelde gaas van die ikosaëder.

Soos voorheen is dit nie 'n rooster in die sin waarin ons (?!) van skool onthou nie, maar 'n manier om driehoeke van balle (balle) vas te plak.

Taak 2. Hoeveel balle neem dit om so 'n ikosaëder te bou? Bly die volgende redenasie korrek: aangesien elke gesig 'n driehoek is, as daar 20 vlakke moet wees, dan is soveel as 60 sfere nodig?

6. Rooster van 'n ikosaëder uit sfere. Elke sirkel is byvoorbeeld 'n tafeltennisbal, maar die konstruksie van sirkels op sirkels wat met dieselfde kleur gemerk is, smelt saam in een. Ons het dus twaalf sfere (= twaalf hoekpunte: rooi, blou, pers, blou en agt geel).

Dit is maklik om te sien dat drie getalle in die ikosaëder nie genoeg is nie. Meer presies: dit is onmoontlik om hoekpunte met nommers 1, 2, 3 op te noem sodat elke (driehoekige) gesig hierdie drie nommers het en daar geen herhalings is nie. Is dit moontlik met vier getalle? Ja dit is moontlik! Kom ons kyk na Rys. 6 en 7.

7. Hier is hoe om die sfere waaruit die ikosaëder bestaan, te nommer sodat elke gesig nommers anders as 1, 2, 3, 4 bevat. Watter van die liggame in fig. 4 is so gekleur?

Taak 3. Drie van die vier getalle kan op vier maniere gekies word: 123, 124, 134, 234. Soek vyf sulke driehoeke in die ikosaëder in fig. 7 (sowel as vanaf illustrasies 4).

4 werk (vereis baie goeie ruimtelike verbeelding). Die ikosaëder het twaalf hoekpunte, wat beteken dat dit uit twaalf balle vasgeplak kan word (fig. 7). Let daarop dat daar drie hoekpunte (=balle) is wat gemerk is met 1, drie met 2, ensovoorts. Balle van dieselfde kleur vorm dus 'n driehoek. Wat is hierdie driehoek? Miskien gelyksydig? Kyk weer illustrasies 4.

Die volgende taak vir die oupa / ouma en kleinseun / kleindogter. Ouers kan uiteindelik ook hul hand probeer, maar hulle het geduld en tyd nodig.

Taak 5. Koop twaalf (verkieslik 24) tafeltennisballetjies, sowat vier kleure verf, ’n kwas en die regte gom – ek beveel nie vinnige soos Superglue of Droplet aan nie, want dit droog te vinnig en is gevaarlik vir kinders. Plak die ikosaëder vas. Trek jou kleindogter ’n t-hemp aan wat dadelik daarna gewas (of weggegooi) sal word. Bedek die tafel met foelie (verkieslik met koerante). Kleur die ikosaëder versigtig met vier kleure 1, 2, 3, 4, soos in fig. fig. 7. Jy kan die volgorde verander – kleur eers die ballonne in en plak dit dan vas. Terselfdertyd moet klein sirkels ongeverf gelaat word sodat die verf nie aan die verf kleef nie.

Nou die moeilikste taak (meer presies, hul hele volgorde).

6 werk (Meer spesifiek, die algemene tema). Teken die ikosaëder as 'n tetraëder en 'n oktaëder op Rys. 2 en 3 Dit beteken dat daar vier balle op elke rand moet wees. In hierdie variant is die taak tydrowend en selfs duur. Kom ons begin deur uit te vind hoeveel balle jy nodig het. Elke gesig het tien sfere, so die ikosaëder het tweehonderd nodig? Geen! Ons moet onthou dat baie balle gedeel word. Hoeveel rande het 'n ikosaëder? Dit kan noukeurig bereken word, maar waarvoor is die Euler-formule?

w–k+s=2

waar w, k, s die aantal hoekpunte, rande en vlakke onderskeidelik is. Ons onthou dat w = 12, s = 20, wat k = 30 beteken. Ons het 30 rande van die ikosaëder. Jy kan dit anders doen, want as daar 20 driehoeke is, dan het hulle net 60 rande, maar twee van hulle is algemeen.

Kom ons bereken hoeveel balle jy benodig. In elke driehoek is daar net een interne bal - nie aan die bokant van ons liggaam nie, nóg op die rand. Ons het dus altesaam 20 sulke balle. Daar is 12 pieke. Elke rand het twee nie-hoekpunte balle (hulle is binne die rand, maar nie binne die gesig nie). Aangesien daar 30 kante is, is daar 60 albasters, maar twee van hulle word gedeel, wat beteken dat jy net 30 albasters nodig het, so jy benodig 'n totaal van 20 + 12 + 30 = 62 albasters. Balle kan vir ten minste 50 pennies gekoop word (gewoonlik duurder). As jy die koste van gom byvoeg, sal dit uitkom ... baie. Goeie binding verg etlike ure se noukeurige werk. Saam is hulle geskik vir ’n ontspannende tydverdryf – ek beveel hulle aan pleks van byvoorbeeld TV kyk.

Retreat 1. In Andrzej Wajda se filmreeks Years, Days speel twee mans skaak “omdat hulle op een of ander manier die tyd tot aandete moet deurbring”. Dit speel af in Galisiese Krakow. Inderdaad: koerante is al gelees (toe het hulle 4 bladsye gehad), TV en telefoon is nog nie uitgevind nie, daar is geen sokkerwedstryde nie. Verveling in die plasse. In so 'n situasie het mense vir hulself vermaak gekry. Vandag het ons hulle nadat ons die afstandbeheerder gedruk het ...

Retreat 2. By die 2019-vergadering van die Vereniging van Wiskunde-onderwysers het 'n Spaanse professor 'n rekenaarprogram gedemonstreer wat soliede mure in enige kleur kan verf. Dit was 'n bietjie creepy, want hulle het net die hande geteken, amper die lyf afgesny. Ek het by myself gedink: hoeveel pret kan jy kry uit so 'n "shading"? Alles neem twee minute, en teen die vierde onthou ons niks nie. Intussen kalmeer en leer outydse "naaldwerk". Wie nie glo nie, laat hom probeer.

Kom ons gaan terug na die XNUMXste eeu en na ons realiteite. As ons nie ontspanning in die vorm van tydrowende gom van balle wil hê nie, sal ons ten minste 'n rooster van 'n ikosaëder teken, waarvan die rande vier balle het. Hoe om dit te doen? Kap dit reg fig. 6. Die aandagtige leser raai reeds die probleem:

Taak 7. Is dit moontlik om die balle met getalle van 0 tot 9 op te tel sodat al hierdie getalle op elke vlak van so 'n ikosaëder verskyn?

Waarvoor word ons betaal?

Vandag vra ons onsself dikwels die vraag na die doel van ons aktiwiteite, en die "grys belastingbetaler" sal vra hoekom hy wiskundiges moet betaal om sulke raaisels op te los?

Die antwoord is redelik eenvoudig. Sulke "raaisels", interessant op sigself, is "'n fragment van iets ernstiger." Militêre parades is immers net 'n eksterne, skouspelagtige deel van 'n moeilike diens. Ek sal net een voorbeeld gee, maar ek begin met 'n vreemde, maar internasionaal erkende wiskundige vak. In 1852 het 'n Engelse student sy professor gevra of dit moontlik is om 'n kaart met vier kleure in te kleur sodat buurlande altyd in verskillende kleure gewys word? Laat ek byvoeg dat ons nie "bure" beskou as diegene wat net op een punt ontmoet nie, soos die state van Wyoming en Utah in die VSA. Die professor het nie geweet nie... en die probleem het al meer as honderd jaar op 'n oplossing gewag.

8. Icosahedron van RECO blokke. Flitsreflektors wys wat die ikosaëder in gemeen het met die driehoek en vyfhoek. Vyf driehoeke konvergeer by elke hoekpunt.

Dit het op 'n onverwagte manier gebeur. In 1976 het 'n groep Amerikaanse wiskundiges 'n program geskryf om hierdie probleem op te los (en hulle het besluit: ja, vier kleure sal altyd genoeg wees). Dit was die eerste bewys van 'n wiskundige feit wat verkry is met behulp van 'n "wiskundige masjien" - soos 'n rekenaar 'n halfeeu gelede (en selfs vroeër: "elektroniese brein") genoem is.

Hier is 'n spesiaal getoonde "kaart van Europa" (fig. 9). Daardie lande wat 'n gemeenskaplike grens het, is verbind. Om die kaart in te kleur is dieselfde as om die sirkels van hierdie grafiek in te kleur (genoem die grafiek) sodat geen gekoppelde sirkels dieselfde kleur het nie. ’n Kykie na Liechtenstein, België, Frankryk en Duitsland wys dat drie kleure nie genoeg is nie. As jy wil, leser, kleur dit in met vier kleure.

9. Wie grens aan wie in Europa?

Wel, ja, maar is dit die belastingbetalers se geld werd? Kom ons kyk dus 'n bietjie anders na dieselfde grafiek. Vergeet dat daar state en grense is. Laat die sirkels inligtingspakkies simboliseer wat van een punt na 'n ander gestuur moet word (byvoorbeeld van P na EST), en die segmente verteenwoordig moontlike verbindings, wat elkeen sy eie bandwydte het. Stuur so gou as moontlik?

Kom ons kyk eers na 'n baie vereenvoudigde, maar ook baie interessante situasie vanuit 'n wiskundige oogpunt. Ons moet iets van punt S (= as begin) na punt M (= eindpunt) stuur deur 'n verbindingsnetwerk met dieselfde bandwydte te gebruik, sê 1. Ons sien dit in fig. 10.

10. Netwerk van verbindings van Statsyika Zdrój na Megapolis.

Kom ons stel ons voor dat ongeveer 89 stukkies inligting van S na M gestuur moet word. Die skrywer van hierdie woorde hou van probleme oor treine, so hy verbeel hom dat hy 'n bestuurder by Stacie Zdrój is, van waar hy 144 waens moet stuur. na metropoolstasie. Hoekom presies 144? Want, soos ons sal sien, sal dit gebruik word om die deurset van die hele netwerk te bereken. Die kapasiteit is 1 in elke lot, d.w.s. een motor kan per tydseenheid verbygaan (een inligtingsbietjie, moontlik ook Gigabyte).

Kom ons maak seker dat alle motors op dieselfde tyd in M ​​bymekaarkom. Almal kom daar in 89 eenhede van tyd. As ek 'n baie belangrike inligtingspakkie van S na M het om te stuur, breek ek dit op in groepe van 144 eenhede en druk dit deur soos hierbo. Die wiskunde waarborg dat dit die vinnigste sal wees. Hoe het ek geweet dat jy 89 nodig het? Ek het eintlik geraai, maar as ek nie geraai het nie, sou ek dit moes uitpluis Kirchhoff-vergelykings (Onthou iemand? - dit is vergelykings wat die vloei van stroom beskryf). Die netwerkbandwydte is 184/89, wat ongeveer gelyk is aan 1,62.

Oor vreugde

Terloops, ek hou van die nommer 144. Ek het graag met die bus met hierdie nommer na die Kasteelplein in Warskou gery – toe daar nie ’n gerestoureerde Koninklike Kasteel langsaan was nie. Miskien weet jong lesers wat 'n dosyn is. Dit is 12 eksemplare, maar net ouer lesers onthou dat 'n dosyn dosyn, dws. 122=144, dit is die sogenaamde lot. En almal wat wiskunde 'n bietjie meer as die skoolkurrikulum ken, sal dit dadelik verstaan fig. 10 ons het Fibonacci-nommers en dat die netwerkbandwydte naby aan die "goue nommer" is

In die Fibonacci-reeks is 144 die enigste getal wat 'n perfekte vierkant is. Eenhonderd-vier-en-veertig is ook 'n "vreugdegetal." Dit is hoe 'n Indiese amateur wiskundige Dattatreya Ramachandra Caprecar in 1955 het hy getalle genoem wat deelbaar is deur die som van hul samestellende syfers:

As hy dit geweet het Adam Mickiewicz, sou hy beslis nee in Dzyady geskryf het: “Van 'n vreemde moeder; sy bloed is sy ou helde / En sy naam is vier-en-veertig, net meer elegant: En sy naam is honderd-vier-en-veertig.

Neem vermaak ernstig op

Ek hoop ek het lesers oortuig dat Sudoku-raaisels die prettige kant van vrae is wat beslis verdien om ernstig opgeneem te word. Ek kan hierdie onderwerp nie verder ontwikkel nie. O, volle netwerk bandwydte berekening vanaf die diagram verskaf op fig. 9 die skryf van 'n stelsel van vergelykings sal twee of meer ure neem - miskien selfs tientalle sekondes (!) se rekenaarwerk.