Sifers en spioene

In vandag se Wiskundehoekie gaan ek kyk na 'n onderwerp wat ek by die Nasionale Kinderstigting se jaarlikse Wetenskapkamp vir kinders bespreek het. Die stigting is op soek na kinders en jeugdiges met wetenskaplike belangstellings. Jy hoef nie uiters begaafd te wees nie, maar jy moet 'n "wetenskaplike streep" hê. Baie goeie skoolpunte word nie vereis nie. Probeer dit, jy sal dalk daarvan hou. As jy 'n senior laerskool of hoërskoolleerling is, doen aansoek. Gewoonlik maak die ouers of die skool die rapporte, maar dit is nie altyd die geval nie. Vind die Stigting se webwerf en vind uit.

Daar word al hoe meer op skool gepraat oor "kodering", met verwysing na die aktiwiteit wat voorheen as "programmering" bekend gestaan ​​het. Dit is 'n algemene prosedure vir teoretiese opvoeders. Hulle grawe ou metodes op, gee hulle 'n nuwe naam, en "vordering" word vanself gemaak. Daar is verskeie gebiede waar so 'n sikliese verskynsel voorkom.

Daar kan tot die gevolgtrekking gekom word dat ek didaktiek devalueer. Geen. In die ontwikkeling van die beskawing keer ons soms terug na wat was, verlate was en nou herleef word. Maar ons hoek is wiskundig, nie filosofies nie.

Om aan 'n bepaalde gemeenskap te behoort beteken ook "algemene simbole", algemene lesings, gesegdes en gelykenisse. Die een wat die Poolse taal perfek geleer het "daar is 'n groot ruigtes in Szczebrzeszyn, 'n kewer gons in die riete" sal onmiddellik ontbloot word as 'n spioen van 'n vreemde staat as hy nie die vraag beantwoord wat die houtkapper doen nie. Natuurlik is hy besig om te versmoor!

Dit is nie net 'n grap nie. In Desember 1944 het die Duitsers hul laaste offensief in die Ardenne ten duurste van stapel gestuur. Hulle het soldate gemobiliseer wat vlot Engels gepraat het om die beweging van geallieerde troepe te ontwrig, byvoorbeeld deur hulle in die verkeerde rigting by kruispaaie te lei. Na 'n oomblik van verbasing het die Amerikaners verdagte vrae aan die soldate begin vra, waarvan die antwoorde duidelik sou wees vir 'n persoon van Texas, Nebraska of Georgia en ondenkbaar vir iemand wat nie daar grootgeword het nie. Onkunde oor die realiteite het direk tot die teregstelling gelei.

Tot die punt. Ek beveel aan lesers die boek deur Lukasz Badowski en Zaslaw Adamashek "Laboratorium in 'n lessenaarlaai - Wiskunde". Hierdie is 'n wonderlike boek wat briljant wys dat wiskunde regtig nuttig is vir iets en dat "wiskunde-eksperiment" nie leë woorde is nie. Dit sluit onder meer die beskryfde konstruksie van die "kartonraaisel" in - 'n toestel wat ons net vyftien minute sal neem om te skep en wat soos 'n ernstige syfermasjien werk. Die idee self was so bekend, die genoemde skrywers het dit pragtig uitgewerk, en ek sal dit bietjie verander en in meer wiskundige klere toedraai.

ystersae

In een van die strate van my dacha-dorpie in die voorstede van Warskou is die sypaadjie onlangs van “trlinka” afgebreek - seskantige plaveiselblaaie. Die rit was ongemaklik, maar die siel van die wiskundige was bly. Om die vlak met gereelde (d.w.s. gereelde) veelhoeke te bedek is nie maklik nie. Dit kan net driehoeke, vierkante en gereelde seshoeke wees.

Miskien het ek 'n bietjie gespot met hierdie geestelike vreugde, maar die seshoek is 'n pragtige figuur. Daaruit kan u 'n redelik suksesvolle enkripsietoestel maak. Meetkunde sal help. Die seshoek het rotasiesimmetrie - dit oorvleuel homself wanneer dit met 'n veelvoud van 60 grade gedraai word. Die veld gemerk, byvoorbeeld, met die letter A in die linkerbovenhoek fig. 1 nadat dit deur hierdie hoek gedraai is, sal dit ook in blokkie A val - en dieselfde met ander letters. Kom ons sny dus ses blokkies uit die rooster, elk met 'n ander letter. Ons sit die rooster wat op hierdie manier verkry is op 'n vel papier. In die gratis ses velde, voer ses letters van die teks in wat ons wil enkripteer. Kom ons draai die vel 60 grade. Ses nuwe velde sal verskyn - voer die volgende ses letters van ons boodskap in.

Rys. 1. Trekpunte van die vreugde van wiskunde.

Aan die regterkant fig. 1 ons het 'n teks wat op hierdie manier geënkodeer is: "Daar is 'n yslike swaar stoomlokomotief by die stasie."

Nou sal 'n bietjie skoolwiskunde handig te pas kom. Op hoeveel maniere kan twee getalle relatief tot mekaar gerangskik word?

Wat 'n dom vraag? Vir twee: óf een voor óf die ander.

Goed. En drie nommers?

Dit is ook nie moeilik om al die instellings te lys nie:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Wel, dit is vir vier! Dit kan steeds duidelik uitgespel word. Raai die volgordereël wat ek stel:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Wanneer die syfers vyf is, kry ons 120 moontlike instellings. Kom ons bel hulle permutasies. Die aantal moontlike permutasies van n getalle is die produk 1 2 3 ... n, genoem sterk en gemerk met 'n uitroepteken: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Vir die volgende getal 6 het ons 6!=720. Ons sal dit gebruik om ons seskantige syferskild meer kompleks te maak.

Ons kies 'n permutasie van getalle van 0 tot 5, byvoorbeeld 351042. Ons seskantige deurmekaarskyf het 'n streep in die middelveld - sodat dit "in die nulposisie" geplaas kan word - 'n streep op, soos in fig. 1. Ons sit die skyf so op 'n vel papier waarop ons ons verslag moet skryf, maar ons skryf dit nie dadelik nie, maar draai dit drie keer met 60 grade (d.i. 180 grade) en tik ses letters in die leë velde. Ons keer terug na die beginposisie. Ons draai die draaiknop vyf keer met 60 grade, dit wil sê met vyf "tande" van ons draaiknop. Ons druk. Die volgende skaalposisie is die posisie wat 60 grade om nul gedraai is. Die vierde posisie is 0 grade, dit is die beginposisie.

Verstaan ​​jy wat gebeur het? Ons het 'n bykomende geleentheid - om ons "masjien" meer as sewehonderd keer te kompliseer! Dus, ons het twee onafhanklike posisies van die "outomaat" - die keuse van die rooster en die keuse van die permutasie. Die rooster kan op 66 = 46656 maniere gekies word, permutasie 720. Dit gee 33592320 moontlikhede. Meer as 33 miljoen syfers! Amper 'n bietjie minder, want sommige roosters kan nie uit papier gesny word nie.

In die onderste deel fig. 1 ons het 'n boodskap wat so gekodeer is: "Ek stuur vir julle vier valskermafdelings." Dit is maklik om te verstaan ​​dat die vyand nie toegelaat moet word om hiervan te weet nie. Maar sal hy iets hiervan verstaan:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

JJYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

selfs met handtekening 351042?

Ons bou Enigma, 'n Duitse syfermasjien

Rys. 2. 'n Voorbeeld van die aanvanklike opstelling van ons enkripsiemasjien.

Permutasies (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Soos ek reeds genoem het, het ek die idee om so 'n kartonmasjien te skep te danke aan die boek "Lab in a Drawer - Mathematics". My "konstruksie" is ietwat anders as die een wat deur sy skrywers gegee word.

Die syfermasjien wat die Duitsers tydens die oorlog gebruik het, het 'n vernuftige eenvoudige beginsel gehad, ietwat soortgelyk aan die een wat ons met die hekskode gesien het. Elke keer dieselfde ding: breek harde toewysing van 'n brief aan 'n ander letter. Dit moet vervangbaar wees. Hoe om dit te doen om beheer daaroor te hê?

Kom ons kies nie enige permutasie nie, maar een wat siklusse van lengte 2 het. Eenvoudig gestel, iets soos die "Gaderipoluk" wat 'n paar maande gelede hier beskryf is, maar wat al die letters van die alfabet dek. Kom ons stem saam oor 24 letters – sonder ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Hoeveel sulke permutasies? Dit is 'n taak vir hoërskool gegradueerdes (hulle behoort dit dadelik te kan oplos). Hoeveel? Baie van? Etlike duisende? Ja:

1912098225024001185793365052108800000000 (laat ons nie eers probeer om hierdie nommer te lees nie). Daar is soveel moontlikhede om die "nul" posisie te stel. En dit kan moeilik wees.

Ons masjien bestaan ​​uit twee ronde skywe. Op een van hulle, wat nog staan, is briewe geskryf. Dit is 'n bietjie soos die draaiknop van 'n ou foon, waar jy 'n nommer geskakel het deur die draaiknop heeltemal te draai. Rotary is die tweede met 'n kleurskema. Die maklikste manier is om hulle met 'n pen op 'n gewone kurkprop te sit. In plaas van kurk, kan jy 'n dun bord of dik karton gebruik. Lukasz Badowski en Zasław Adamaszek beveel aan om albei skywe in 'n CD-boks te plaas.

Stel jou voor ons wil die woord ARMATY (Rys. 2 en 3). Stel die toestel op nulposisie (pyltjie op). Die letter A stem ooreen met F. Draai die interne stroombaan een letter na regs. Ons het die letter R om te kodeer, nou stem dit ooreen met A. Na die volgende rotasie, sien ons dat die letter M ooreenstem met U. Die volgende rotasie (vierde diagram) gee die korrespondensie A - P. Op die vyfde draaiknop het ons T - A. Ten slotte (sesde sirkel ) Y – Y Die vyand sal waarskynlik nie raai dat ons CFCFA's vir hom gevaarlik sal wees nie. En hoe sal "ons s'n" die versending lees? Hulle moet dieselfde masjien hê, dieselfde "geprogrammeerde", dit wil sê met dieselfde permutasie. Die syfer begin by posisie nul. Die waarde van F is dus A. Draai die draaiknop kloksgewys. Die letter A word nou met R geassosieer. Hy draai die draaiknop na regs en onder die letter U vind M, ens. Die syferklerk hardloop na die generaal: “Generaal, ek meld, die gewere kom!”

Rys. 3. Die beginsel van werking van ons koerant Enigma.

Rys. 3. Die beginsel van werking van ons koerant Enigma.

Die moontlikhede van selfs so 'n primitiewe Enigma is ongelooflik. Ons kan ander uitsetpermutasies kies. Ons kan - en daar is selfs meer geleenthede hier - nie deur een "serif" gereeld nie, maar in 'n sekere, daaglikse veranderende volgorde, soortgelyk aan 'n seshoek (byvoorbeeld, eers drie letters, dan sewe, dan agt, vier ... .. ens. .).

Hoe kan jy raai?! En tog vir Poolse wiskundiges (Marian Reevski, Henryk Zigalski, Jerzy Ruzicki) gebeur het. Die inligting wat so verkry is, was van onskatbare waarde. Voorheen het hulle 'n ewe belangrike bydrae tot die geskiedenis van ons verdediging gelewer. Vaclav Serpinsky i Stanislav Mazurkevichwat die kode van Russiese troepe in 1920 oortree het. Die onderskepte kabel het Piłsudski die geleentheid gegee om die beroemde maneuver vanaf die Vepsz-rivier te maak.

Ek onthou Vaslav Sierpinski (1882-1969). Hy het gelyk soos 'n wiskundige vir wie die buitewêreld nie bestaan ​​het nie. Hy kon nie praat oor sy deelname aan die oorwinning in 1920 beide vir militêre en ... vir politieke redes (die owerhede van die Poolse Volksrepubliek het nie gehou van diegene wat ons verdedig het van die Sowjetunie).

Rys. 4. Permutasie (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Rys. 5. Pragtige versiering, maar nie geskik vir enkripsie nie. Te gereeld.

Taak 1. Na fig. 4 jy het nog 'n permutasie om Enigma te skep. Kopieer die tekening na die xerograaf. Bou 'n motor, kodeer jou voornaam en van. My CWONUE JTRYGT. As jy jou notas privaat moet hou, gebruik Cardboard Enigma.

Taak 2. Enkripteer jou naam en van van een van die "motors" wat jy gesien het, maar (aandag!) met 'n bykomende komplikasie: ons draai nie een kerf na regs nie, maar volgens die skema {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - dit wil sê eers vir een, dan deur twee, dan deur drie, dan met 2, dan weer met 1, dan deur 2, ens., so 'n "wavelet" . Maak seker my voornaam en van is geïnkripteer as CZTTAK SDBITH. Verstaan ​​jy nou hoe kragtig die Enigma-masjien was?

Probleemoplossing vir hoërskool gegradueerdes. Hoeveel konfigurasie opsies vir Enigma (in hierdie weergawe, soos beskryf in die artikel)? Ons het 24 letters. Ons kies die eerste paar letters - dit kan gedoen word op

maniere. Die volgende paar kan gekies word op

maniere, meer

ens. Na die ooreenstemmende berekeninge (alle getalle moet vermenigvuldig word), kry ons

151476660579404160000

Deel dan daardie getal deur 12! (12 faktoriaal), omdat dieselfde pare in 'n ander volgorde verkry kan word. So op die ou end kry ons "totaal"

316234143225,

dit is net meer as 300 miljard, wat nie na 'n verbysterende groot getal vir vandag se superrekenaars lyk nie. As die ewekansige volgorde van die permutasies self egter in ag geneem word, neem hierdie getal aansienlik toe. Ons kan ook aan ander tipes permutasies dink.

Sien ook: