Reis na die onwerklike wêreld van wiskunde

Ek het hierdie artikel in een van die omgewings geskryf, na 'n lesing en praktyk in 'n kollege vir rekenaarwetenskap. Ek verdedig myself teen kritiek op die studente van hierdie skool, hul kennis, houding teenoor wetenskap en, bowenal, hul onderrigvaardighede. Dit... niemand leer hulle nie.

Hoekom is ek so verdedigend? Om 'n eenvoudige rede - ek is op 'n ouderdom wanneer, waarskynlik, die wêreld om ons nog nie verstaan ​​word nie. Miskien leer ek hulle om perde in en uit te span, en om nie motor te bestuur nie? Miskien leer ek hulle skryf met 'n veerpen? Alhoewel ek 'n beter opinie van 'n persoon het, beskou ek myself as "volg", maar...

Hulle het tot onlangs op hoërskool oor komplekse getalle gepraat. En dit was op hierdie Woensdag dat ek by die huis gekom het, opgehou het - amper nie een van die studente het nog geleer wat dit is en hoe om hierdie nommers te gebruik nie. Sommige kyk na alle wiskunde soos 'n gans by 'n geverfde deur. Maar ek was ook opreg verras toe hulle my vertel het hoe om te leer. Eenvoudig gestel, elke uur van 'n lesing is twee uur se huiswerk: lees van 'n handboek, leer hoe om probleme oor 'n gegewe onderwerp op te los, ens. Nadat ons op hierdie manier voorberei het, kom ons by die oefeninge, waar ons alles verbeter ... Aangenaam het die studente blykbaar gedink dat om by die lesing te sit - meestal by die venster uitkyk - reeds die toegang van kennis in die kop waarborg.

Stop! Genoeg hiervan. Ek sal my antwoord beskryf op 'n vraag wat ek ontvang het tydens 'n klas met genote van die Nasionale Kinderfonds, 'n instansie wat talentvolle kinders van regoor die land ondersteun. Die vraag (of eerder die voorstel) was:

— Kan jy ons iets vertel oor onwerklike getalle?

"Natuurlik," het ek geantwoord. 

Die realiteit van getalle

"'n Vriend is 'n ander ek, vriendskap is die verhouding van getalle 220 en 284," het Pythagoras gesê. Die punt hier is dat die som van die delers van die getal 220 284 is, en die som van die delers van die getal 284 is 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Terloops, ons let op dat die Bybelse Jakob vir Esau 220 skape en ramme gegee het as 'n teken van vriendskap (Genesis 32:14) ).

Nog 'n interessante sameloop tussen die getalle 220 en 284 is dit: die sewentien hoogste priemgetalle is 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , en 59.

Hulle som is 2x220, en die som van die vierkante is 59x284.

Eerstens. Daar is geen konsep van "reële getal" nie. Dit is soos nadat jy 'n artikel oor olifante gelees het, jy vra: "Nou gaan ons vir nie-olifante vra." Daar is heel en nie-heel, rasioneel en irrasioneel, maar daar is geen onwerklik nie. Spesifiek: getalle wat nie werklik is nie, word nie ongeldig genoem nie. Daar is baie soorte "getalle" in wiskunde, en hulle verskil van mekaar, soos - om 'n dierkundige vergelyking te neem - 'n olifant en 'n erdwurm.

Tweedens sal ons bewerkings uitvoer wat jy dalk reeds weet is verbode: onttrek die vierkantswortels van negatiewe getalle. Wel, wiskunde sal sulke hindernisse oorkom. Maak dit tog sin? In wiskunde, soos in enige ander wetenskap, hang af of 'n teorie vir ewig in die bewaarplek van kennis ingaan ... van die toepassing daarvan. As dit nutteloos is, dan beland dit in die asblik, dan in een of ander gemors van die kennisgeskiedenis. Sonder die getalle waaroor ek aan die einde van hierdie artikel praat, is dit onmoontlik om wiskunde te ontwikkel. Maar kom ons begin met 'n paar klein dingetjies. Wat is reële getalle, jy weet. Hulle vul die getallelyn dig en sonder gapings. Jy weet ook wat natuurlike getalle is: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - almal sal nie inpas nie geheue selfs die grootste. Hulle het ook 'n pragtige naam: natuurlik. Hulle het soveel interessante eienskappe. Hoe hou jy hiervan:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“Dit is natuurlik om in die natuurlike getalle belang te stel,” het Karl Lindenholm gesê, en Leopold Kronecker (1823–1891) het dit bondig gestel: “God het die natuurlike getalle geskep—alles anders is die werk van die mens!” Breuke (wat rasionale getalle deur wiskundiges genoem word) het ook wonderlike eienskappe:

en in gelykheid:

jy kan, begin van die linkerkant, die pluspunte vryf en vervang met vermenigvuldigingstekens - en die gelykheid sal waar bly:

En so aan.

Soos jy weet, vir breuke a/b, waar a en b heelgetalle is, en b ≠ 0, sê hulle rasionale nommer. Maar net in Pools noem hulle hulself so. Hulle praat Engels, Frans, Duits en Russies. rasionale nommer. In Engels: rasionale getalle. Irrasionele getalle dis irrasioneel, irrasioneel. Ons praat ook Pools oor irrasionele teorieë, idees en dade – dit is waansin, denkbeeldig, onverklaarbaar. Hulle sê vroue is bang vir muise – is dit nie so irrasioneel nie?

In antieke tye het getalle 'n siel gehad. Elkeen het iets beteken, elkeen het iets gesimboliseer, elkeen het 'n deeltjie van daardie harmonie van die Heelal weerspieël, dit wil sê in Grieks, die Kosmos. Die einste woord "kosmos" beteken presies "orde, orde". Die belangrikste was ses (die volmaakte getal) en tien, die som van die opeenvolgende getalle 1+2+3+4, saamgestel uit ander getalle, waarvan die simboliek tot vandag toe oorleef het. Pythagoras het dus geleer dat getalle die begin en bron van alles is, en slegs die ontdekking irrasionale getalle het die Pythagorese beweging na meetkunde gedraai. Ons ken die redenasie van die skool af

√2 is 'n irrasionale getal

Want veronderstel dat daar is: en dat hierdie breuk nie verminder kan word nie. In die besonder, beide p en q is vreemd. Kom ons vierkantig: 2q²=p². Die getal p kan nie onewe wees nie, aangesien p² sou ook wees, en aan die linkerkant van die gelykheid is daar 'n veelvoud van 2. Daarom is p ewe, d.w.s. p = 2r, dus p²= 4r². Ons verminder die vergelyking 2q²= 4r² teen 2. Ons kry q²= 2r² en ons sien dat q ook ewe moet wees, wat ons aangeneem het nie so is nie. Die gevolglike teenstrydigheid voltooi die bewys - hierdie formule kan dikwels in elke wiskundige boek gevind word. Hierdie omstandigheidsbewys is 'n gunsteling truuk van die sofiste.

Hierdie grootheid kon nie deur die Pythagoreërs verstaan ​​word nie. Alles moet deur syfers beskryf kan word, en die hoeklyn van 'n vierkant, wat enigiemand met 'n stok oor die sand kan trek, het geen, dit wil sê, meetbare, lengte. "Ons geloof was tevergeefs," blyk die Pythagoreërs te sê. Hoe so? Dit is soort van ... irrasioneel. Die Unie het probeer om homself te red deur sektariese metodes. Enigeen wat dit waag om hul bestaan ​​te openbaar irrasionale getalle, moes met die dood gestraf word, en blykbaar is die eerste vonnis deur die meester self voltrek.

Maar "die gedagte het ongedeerd verbygegaan." Die goue era het aangebreek. Die Grieke het die Perse verslaan (Marathon 490, Blok 479). Demokrasie is versterk, nuwe sentrums van filosofiese denke en nuwe skole het ontstaan. Die Pythagoreërs het steeds met irrasionale getalle gesukkel. Sommige het gepreek: ons sal hierdie misterie nie begryp nie; ons kan net nadink en ons verwonder aan Uncharted. Laasgenoemde was meer pragmaties en het nie die Misterie gerespekteer nie. In daardie tyd het twee verstandelike konstruksies verskyn wat dit moontlik gemaak het om irrasionale getalle te verstaan. Die feit dat ons hulle vandag goed genoeg verstaan, behoort aan Eudoxus (XNUMXde eeu vC), en dit was eers aan die einde van die XNUMXde eeu dat die Duitse wiskundige Richard Dedekind die teorie van Eudoxus die regte ontwikkeling gegee het in ooreenstemming met die vereistes van streng wiskundige logika.

Massa van figure of marteling

Kan jy sonder syfers lewe? Al sou die lewe wees... Ons sal winkel toe moet gaan om skoene te koop met 'n stok, wat ons voorheen die lengte van die voet gemeet het. "Ek wil appels hê, ag, hier is dit!" – ons sal verkopers in die mark wys. "Hoe ver is dit van Modlin na Nowy Dwur Mazowiecki"? "Baie naby!"

Getalle word gebruik om te meet. Met hul hulp druk ons ​​ook baie ander konsepte uit. Byvoorbeeld, die skaal van die kaart wys hoeveel die oppervlakte van die land afgeneem het. 'n Twee-tot-een skaal, of bloot 2, druk die feit uit dat iets in grootte verdubbel is. Kom ons sê wiskundig: elke homogeniteit stem ooreen met 'n getal - sy skaal.

taak. Ons het 'n xerografiese kopie gemaak en die prent verskeie kere vergroot. Toe is die vergrote fragment weer b keer vergroot. Wat is die algemene vergrotingskaal? Antwoord: a × b vermenigvuldig met b. Hierdie skale moet vermenigvuldig word. Die "minus een" getal, -1, stem ooreen met een presisie wat gesentreer is, dit wil sê 180 grade gedraai. Watter getal stem ooreen met 'n 90 grade draai? Daar is nie so 'n nommer nie. Dit is, dit is ... of liewer, dit sal binnekort wees. Is jy gereed vir morele marteling? Hou moed en neem die vierkantswortel van minus een. Ek luister na? Wat kan jy nie? Ek het immers vir jou gesê om dapper te wees. Trek dit uit! Hey, wel, trek, trek... Ek sal help... Hier: -1 Noudat ons dit het, kom ons probeer dit gebruik... Natuurlik, nou kan ons die wortels van alle negatiewe getalle onttrek, want voorbeeld.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

“Ongeag die geestelike angs wat dit meebring.” Dit is wat Girolamo Cardano in 1539 geskryf het, om die geestelike probleme te oorkom wat verband hou met - soos dit gou genoem word - denkbeeldige hoeveelhede. Hy het hierdie ...

...taak. Verdeel 10 in twee dele, waarvan die produk 40 is. Ek onthou dat hy uit die vorige episode so iets geskryf het: Beslis onmoontlik. Kom ons doen egter dit: verdeel 10 in twee gelyke dele, elk gelyk aan 5. Vermenigvuldig hulle - dit het 25 geword. Van die gevolglike 25, trek nou 40 af, as jy wil, en jy kry -15. Kyk nou: √-15 opgetel en afgetrek van 5 gee jou die produk van 40. Dit is die getalle 5-√-15 en 5 + √-15. Die verifikasie van die resultaat is soos volg deur Cardano uitgevoer:

“Ongeag die hartseer wat dit behels, vermenigvuldig 5 + √-15 met 5-√-15. Ons kry 25 - (-15), wat gelyk is aan 25 + 15. Dus, die produk is 40 .... Dit is regtig moeilik.”

Wel, hoeveel is: (1 + √-1) (1-√-1)? Kom ons vermenigvuldig. Onthou dat √-1 × √-1 = -1. Groot. Nou 'n moeiliker taak: van a + b√-1 tot ab√-1. Wat het gebeur? Sekerlik, soos volg: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Wat is interessant hieroor? Byvoorbeeld, die feit dat ons uitdrukkings kan faktoriseer wat ons "nie voorheen geken het nie." Die verkorte vermenigvuldigingsformule vir²-b² Onthou jy die formule vir²+b² dit was nie, want dit kon nie wees nie. In die domein van reële getalle, die polinoom²+b² dit is onvermydelik. Kom ons dui "ons" vierkantswortel van "minus een" aan met die letter i.²= -1. Dit is 'n "onwerklike" priemgetal. En dit is wat 'n 90 grade draai van 'n vliegtuig beskryf. Hoekom? Na alles,²= -1, en die kombinasie van een 90-grade rotasie en 'n ander 180-grade rotasie gee 'n 45-grade rotasie. Watter tipe rotasie word beskryf? Duidelik 'n XNUMX grade draai. Wat beteken die -i? Dit is 'n bietjie meer ingewikkeld:

(-ek)² = -i × (-i) = +i² = -1 XNUMX

So -i beskryf ook 'n 90 grade rotasie, net in die teenoorgestelde rigting van i se rotasie. Watter een is links en watter een is regs? Jy moet 'n afspraak maak. Ons neem aan dat die getal i 'n rotasie spesifiseer in die rigting wat wiskundiges as positief beskou: linksom. Die getal -i beskryf rotasie in die rigting wat die wysers beweeg.

Maar bestaan ​​getalle soos i en -i? Is! Ons het hulle net tot lewe gebring. Ek luister na? Dat hulle net in ons kop bestaan? Wel wat om te verwag? Alle ander getalle bestaan ​​ook net in ons gedagtes. Ons moet kyk of ons pasgebore getalle oorleef. Meer presies, of die ontwerp logies is en of dit nuttig sal wees vir iets. Neem asseblief my woord daarvoor dat alles in orde is en dat hierdie nuwe nommers regtig nuttig is. Getalle soos 3+i, 5-7i, meer algemeen: a+bi word komplekse getalle genoem. Ek het jou gewys hoe jy hulle kan kry deur die vliegtuig te draai. Hulle kan op verskillende maniere ingevoer word: as punte in 'n vlak, as sommige polinome, as 'n soort numeriese skikkings ... en elke keer is hulle dieselfde: die vergelyking x² +1=0 daar is geen element nie... hokus pokus is reeds daar!!!! Kom ons jubel en juig!!!

Einde van toer

Dit sluit ons eerste toer deur die land van vals nommers af. Van die ander onaardse getalle, sal ek ook die noem wat 'n oneindige aantal syfers voor het, en nie agter nie (dit word 10-adic genoem, vir ons is p-adic belangriker, waar p 'n priemgetal is), want voorbeeld X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Kom ons tel X asseblief². Omdat? Wat as ons die kwadraat van 'n getal, gevolg deur 'n oneindige aantal syfers, bereken? Wel, kom ons doen dieselfde. Ons weet dat x² = X.

Kom ons soek nog so 'n getal met 'n oneindige aantal syfers voor wat aan die vergelyking voldoen. Wenk: die vierkant van 'n getal wat op ses eindig, eindig ook op ses. Die vierkant van 'n getal wat op 76 eindig, eindig ook op 76. Die vierkant van 'n getal wat op 376 eindig, eindig ook op 376. Die vierkant van 'n getal wat op 9376 eindig, eindig ook op 9376. Die vierkant van 'n getal wat eindig in XNUMX op … Daar is ook getalle wat so klein is dat hulle, as hulle positief is, kleiner bly as enige ander positiewe getal. Hulle is so klein dat dit soms genoeg is om hulle te vier om nul te kry. Daar is getalle wat nie aan die voorwaarde a × b = b × a voldoen nie. Daar is ook oneindige getalle. Hoeveel natuurlike getalle is daar? Oneindig baie? Ja, maar hoeveel? Hoe kan dit as 'n getal uitgedruk word? Antwoord: die kleinste van oneindige getalle; dit is gemerk met 'n pragtige letter: A en aangevul met 'n nul-indeks A₀ , alf-nul.

Daar is ook getalle wat ons nie weet bestaan ​​nie... of wat jy kan glo of nie glo soos jy wil nie. En so gepraat: ek hoop jy hou nog steeds van Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.