Hoekom deel ons nie deur nul nie?
inhoud
Lesers kan wonder hoekom ek 'n hele artikel aan so 'n banale kwessie wy? Die rede is die verbysterende aantal studente (!) wat die operasie terloops onder die naam uitvoer. En nie net studente nie. Soms vang ek en onderwysers. Wat sal die studente van sulke onderwysers in wiskunde kan doen? Die onmiddellike rede vir die skryf van hierdie teks was 'n gesprek met 'n onderwyser vir wie deling deur nul nie 'n probleem was nie ...
Met nul, ja, behalwe vir die moeite van glad niks, want ons hoef dit nie regtig in die alledaagse lewe te gebruik nie. Ons gaan koop nie vir nul eiers nie. "Daar is een persoon in die kamer" klink op een of ander manier natuurlik, en "nul mense" klink kunsmatig. Taalkundiges sê dat nul buite die taalsisteem is.
Ons kan ook sonder die nul in bankrekeninge klaarkom: gebruik net - soos op 'n termometer - rooi en blou vir positiewe en negatiewe waardes (let op dat dit vir temperatuur natuurlik is om rooi vir positiewe getalle te gebruik, en vir bankrekeninge dit is andersom, want die debiet moet 'n waarskuwing veroorsaak, dus rooi word sterk aanbeveel).
Deur nul as 'n natuurlike getal in te sluit, raak ons die probleem van differensiasie aan kardinale getalle od huishouding. Binne 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….
die mag van die getal is dieselfde as die getal van die plek waar dit staan. Andersins is dit reeds in die volgorde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….
Die aantal enkelton-stelle kom tweede, die aantal stelle met twee elemente kom derde, ensovoorts. Ons moet verduidelik hoekom ons byvoorbeeld nie die plekke van atlete in kompetisies van nuuts af nommer nie. Dan sou die eerste plek wenner 'n silwer medalje ontvang (goud gaan aan die nul-plek wenner), ensovoorts. 'n Ietwat soortgelyke prosedure is in sokker gebruik - ek weet nie of Lesers weet dat "liga een" beteken " volg die beste." ", en die nulliga word geroep om die "hoofliga" te word.
Soms hoor ons die argument dat ons van voor af moet begin, want dit is gerieflik vir IT-mense. Deur hierdie oorwegings voort te sit, moet die definisie van 'n kilometer verander word - dit moet 1024 m wees, want dit is die aantal grepe in 'n kilogreep (ek sal verwys na 'n grap wat aan rekenaarwetenskaplikes bekend is: "Wat is die verskil tussen 'n eerstejaars en 'n student in rekenaarwetenskap en 'n vyfdejaarstudent van hierdie fakulteit? dat 'n kilogreep 1000 kilogrepe is, die laaste - dat 'n kilometer 1024 meter is")!
Nog 'n standpunt, wat reeds ernstig opgeneem moet word, is dit: ons meet altyd van nuuts af! Dit is genoeg om te kyk na enige skaal op die liniaal, op huishoudelike skale, selfs op die klok. Aangesien ons vanaf nul meet, en tel verstaan kan word as 'n meting met 'n dimensielose eenheid, dan moet ons vanaf nul tel.
Dit is 'n eenvoudige saak, maar...
Kom ons los die algemene redenasie en keer terug na deling deur nul. Die saak is eenvoudig en dit sou eenvoudig wees as dit nie was vir ... so wat? Kom ons dink en probeer. Hoeveel kan dit wees - een gedeel deur nul? Kom ons kyk: 1/0 = x. Vermenigvuldig beide kante met die noemer van die linkerkant.
Ons kry 1=0. Iets is verkeerd! Wat het gebeur? Ag raai! Die aanname dat daar 'n kwosiënt van eenheid en nul is, lei tot 'n teenstrydigheid. En as een nie deur nul gedeel kan word nie, dan kan 'n ander getal. As jy, Leser, jou skouers optrek en wonder hoekom die skrywer (dit wil sê ek) oor sulke platitudes skryf, dan ... is ek baie bly!
Die formule 0/0 = 0 kan op 'n hardnekkige basis verdedig word, maar dit weerspreek die reël dat die resultaat van die deling van 'n getal deur homself gelyk is aan een. Absoluut, maar heel anders is simbole soos 0/0, °/° en dies meer in calculus. Hulle beteken nie enige getal nie, maar is simboliese benamings vir bepaalde rye van sekere tipes.
In 'n elektriese ingenieurswese boek het ek 'n interessante vergelyking gevind: om deur nul te deel is net so gevaarlik soos hoëspanning elektrisiteit. Dit is normaal: Ohm se wet bepaal dat die verhouding van spanning tot weerstand gelyk is aan stroom: V = U / R. As weerstand nul was, sou 'n teoreties oneindige stroom deur die geleier vloei en alle moontlike geleiers verbrand.
Ek het eenkeer 'n gedig geskryf oor die gevare daarvan om vir elke dag van die week deur nul te deel. Ek onthou dat die mees dramatiese dag Donderdag was, maar dis jammer vir al my werk in hierdie area.
Wanneer jy iets deur nul deel
Baie vroeg Maandag
Week wat pas gebeur het
Jy het reeds klaaglik misluk.
Wanneer Dinsdagmiddag
Jy sit nul in die noemer
Ek sal jou dan sê, jy is verkeerd
Slegte wiskundige!
Wanneer deur nul, deur perversie,
Wil Woensdag skei
Jy sal in baie moeilikheid kom
Jy het hooi en water in jou kop!
'n Sekere Bartek was by ons.
Hy was in stryd met die reëls.
Donderdag is dit deelbaar deur nul.
Hy is nie meer tussen ons nie!
As 'n vreemde begeerte jou beetkry
Deel Vrydag deur nul
Ek sal eerlik wees, ek sal eerlik wees:
Slegte begin vir hierdie naweek.
Wanneer dit nul is, iewers op Saterdag
Die verdeler sal joune wees (nie vetdruk nie)
Kniel onder die kerkheining.
Dit is jou opstanding.
Jy wil nul onder die streep hê,
Maak 'n vakansie op Sondag
Bring kryt, swart bord.
Skryf: dit is nie deelbaar deur nul nie!
Nul word geassosieer met leegheid en niks. Inderdaad, hy het na wiskunde gekom as 'n hoeveelheid wat, wanneer dit by enige gevoeg word, dit nie verander nie: x + 0 = x. Maar nou verskyn nul in verskeie ander waardes, veral as skaal begin. As daar buite die venster nie positiewe temperatuur of ryp is nie, dan is ... dit nul, wat nie beteken dat daar geen temperatuur is nie. ’n Nulklas-monument is nie een wat lankal gesloop is en eenvoudig nie bestaan nie. Inteendeel, dit is iets soos die Wawel, die Eiffeltoring en die Statue of Liberty.
Wel, die belangrikheid van nul in 'n posisionele stelsel kan nie oorskat word nie. Weet jy, leser, hoeveel nulle het Bill Gates in sy bankrekening? Ek weet nie, maar ek wil die helfte hê. Napoleon Bonaparte het blykbaar opgemerk dat mense soos nulle is: hulle verkry betekenis deur posisie. In Andrzej Wajda se As the Years, As the Days Pass ontplof die passievolle kunstenaar Jerzy: "Philister is nul, nihil, niks, niks, nihil, nul." Maar nul kan goed wees: "nul afwyking van die norm" beteken alles gaan goed, en hou so aan!
Kom ons keer terug na wiskunde. Nul kan straffeloos opgetel, afgetrek en vermenigvuldig word. "Ek het nul kilogram opgetel," sê Manya vir Anya. "En dit is interessant, want ek het dieselfde gewig verloor," antwoord Anya. So kom ons eet ses nul porsies roomys ses keer, dit sal ons nie skade doen nie.
Ons kan nie deur nul deel nie, maar ons kan deur nul deel. ’n Bord nulbolletjies kan maklik uitgedeel word aan diegene wat vir kos wag. Hoeveel sal elkeen kry?
Nul is nie positief of negatief nie. Dit en die nommer nie-positiefи nie-negatief. Dit voldoen aan die ongelykhede x≥0 en x≤0. Die teenstrydigheid "iets positiefs" is nie "iets negatiefs" nie, maar "iets negatiefs of gelyk aan nul". Wiskundiges, in teenstelling met die reëls van die taal, sal altyd sê dat iets "gelyk aan nul" is en nie "nul nie." Om hierdie praktyk te regverdig, het ons: as ons die formule x = 0 lees "x is gelyk aan nul" dan lees x = 1 "x is gelyk aan een", wat ingesluk kan word, maar wat van "x = 1534267" ? Jy kan ook nie 'n numeriese waarde aan die karakter 0 toeken nie0en verhoog ook nie nul tot 'n negatiewe mag nie. Aan die ander kant kan jy na willekeur nul wortel ... en die resultaat sal altyd nul wees.
Eksponensiële funksie y = ax, die positiewe basis van a, word nooit nul nie. Dit volg dat die nullogaritme nie bestaan nie. Inderdaad, die logaritme van a tot die basis b is die eksponent waartoe die basis verhoog moet word om die logaritme van a te verkry. Vir a = 0 is daar nie so 'n aanwyser nie, en nul kan nie die basis van die logaritme wees nie. Die nul in die "noemer" van Newton se simbool is egter iets anders. Ons neem aan dat hierdie konvensies nie tot 'n teenstrydigheid lei nie.
valse bewyse
Deling deur nul is 'n algemene onderwerp vir valse bewyse, en dit gebeur selfs met ervare wiskundiges. Kom ek gee jou twee van my gunsteling voorbeelde. Die eerste is algebraïes. Ek sal "bewys" dat alle getalle gelyk is. Gestel daar is twee getalle wat nie gelyk is nie. Daarom is een van hulle groter as die ander, laat a > b. Kom ons neem aan dat c hul verskil is
c \uXNUMXd a - b. Ons het dus a - b = c, vanwaar a = b + c.
Ons vermenigvuldig beide dele van laasgenoemde met a - b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Ek vertaal ak na die linkerkant, natuurlik onthou ek van die verandering van die teken:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Ek sluit algemene faktore uit:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Ek deel en ek het wat ek wou hê:
a = b.
En eintlik nog vreemder, want ek het aangeneem dat a > b, en ek het dat a = b. As in die voorbeeld hierbo "bedrog" maklik herkenbaar is, dan is dit in die meetkundige bewys hieronder nie so maklik nie. Ek sal bewys dat ... die trapezium nie bestaan nie. Die figuur wat gewoonlik 'n trapesium genoem word, bestaan nie.
Maar veronderstel eers dat daar iets soos 'n trapezium is (ABCD in die figuur hieronder). Dit het twee parallelle sye ("basisse"). Kom ons rek hierdie basisse, soos in die prentjie getoon, sodat ons 'n parallelogram kry. Sy hoeklyne verdeel die ander diagonaal van die trapesium in segmente waarvan die lengtes aangedui word as x, y, z, soos in figuur 1. Uit die ooreenkoms van die ooreenstemmende driehoeke kry ons die verhoudings:
waar ons definieer:
Oraz
waar ons definieer:
Trek die kante van gelykheid gemerk met sterretjies af:
As ons albei kante met x − z verkort, kry ons – a/b = 1, wat beteken dat a + b = 0. Maar die getalle a, b is die lengtes van die basisse van die trapesium. As hulle som nul is, dan is hulle ook nul. Dit beteken dat 'n figuur soos 'n trapezium nie kan bestaan nie! En aangesien reghoeke, ruite en vierkante ook trapeziums is, dan is daar, liewe leser, ook geen ruite, reghoeke en vierkante nie ...
Raai Raai
Om inligting te deel is die interessantste en uitdagendste van die vier basiese aktiwiteite. Hier kom ons vir die eerste keer 'n verskynsel teë wat so algemeen in volwassenheid is: "raai die antwoord, en kyk dan of jy reg geraai het." Dit word baie gepas uitgedruk deur Daniel K. Dennett (“How to Make Mistakes?”, in How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warskou, 1997):
Hierdie metode van “raai” meng nie in met ons volwasse lewe nie – dalk omdat ons dit vroeg leer en raai nie moeilik is nie. Ideologies kom dieselfde verskynsel byvoorbeeld by wiskundige (volledige) induksie voor. Op dieselfde plek “raai” ons die formule en kyk dan of ons raaiskoot korrek is. Studente vra altyd: “Hoe het ons die patroon geken? Hoe kan dit uitgehaal word?” Wanneer studente my hierdie vraag vra, verander ek hul vraag in 'n grap: "Ek weet dit omdat ek 'n professionele persoon is, want ek word betaal om te weet." Studente by die skool kan in dieselfde styl beantwoord word, net ernstiger.
oefening. Let daarop dat ons begin optel en geskrewe vermenigvuldiging met die laagste eenheid, en deling met die hoogste eenheid.
'n Kombinasie van twee idees
Wiskunde-onderwysers het nog altyd daarop gewys dat wat ons volwasse skeiding noem die vereniging van twee konseptueel verskillende idees is: behuising i skeiding.
Die eerste een (behuising) kom voor in take waar die argetipe is:
Verdeel-verdeel Dit is take soos:
? (Ons behou die oorspronklike styl van hierdie probleem, geneem uit Julian Zgozalewicz se handboek wat in 1892 in Krakow gepubliseer is – die złoty is die Rynse złoty, die geldeenheid wat tot aan die begin van die XNUMXste eeu in die Oostenryk-Hongaarse Ryk in omloop was).
Oorweeg nou twee probleme met die oudste wiskundehandboek in Pools, vader Tomasz Clos (1538). Is dit 'n afdeling of 'n koepee? Los dit op soos skoolkinders in die XNUMXste eeu moet:
(Pools na Poolse vertaling: Daar is 'n liter en vier potte in 'n vat. 'n Pot is vier liter. Iemand het 20 vate wyn vir 50 zł gekoop vir handel. Prys en belasting (aksyns?) sal 8 zł wees. Hoeveel om verkoop 'n kwart om 8 zł te verdien?)
Sport, fisika, kongruensie
Soms in sport moet jy iets deur nul deel (doelwitverhouding). Wel, die beoordelaars hanteer dit op een of ander manier. In abstrakte algebra is hulle egter op die agenda. nie-nul hoeveelhedewie se vierkant nul is. Dit kan selfs eenvoudig verduidelik word.
Beskou 'n funksie F wat 'n punt (y, 0) met 'n punt in die vlak (x, y) assosieer. Wat is F2, dit wil sê 'n dubbele uitvoering van F? Nulfunksie - elke punt het 'n beeld (0,0).
Laastens, nie-nul hoeveelhede waarvan die vierkant 0 is, is byna daaglikse brood vir fisici, en getalle van die vorm a + bε, waar ε ≠ 0, maar ε2 = 0, noem wiskundiges dubbele getalle. Hulle kom voor in wiskundige analise en in differensiële meetkunde.
Daar is immers iets in rekenkunde wat deling deur nul in ten minste die naam het. Dit kom van kongruensie. Laat Z die stel heelgetalle aandui. Deur die versameling Z deur p te deel beteken dat ons elke getal (heelgetal) aan sommige ander gelykstel, naamlik aan dié waarmee hul verskil deelbaar is. Dus, wanneer ons vyf tipes getalle het wat ooreenstem met die getalle 0, 1, 2, 3, 4 - die moontlike oorblyfsels wanneer gedeel deur 5. Die formule word so geskryf:
mod wanneer die verskil 'n veelvoud is.
Vir = 2 het ons net twee getalle: 0 en 1. Om heelgetalle in twee sulke klasse te verdeel is gelykstaande aan die verdeling van hulle in ewe en onewe. Kom ons vervang dit nou. Die verskil is altyd deelbaar deur 1 (enige heelgetal is deelbaar deur 1). Is dit moontlik om =0 te neem? Kom ons probeer: wanneer is die verskil van twee getalle 'n veelvoud van nul? Slegs wanneer hierdie twee getalle gelyk is. So om 'n stel heelgetalle deur nul te deel maak sin, maar dit is nie interessant nie: niks gebeur nie. Dit moet egter beklemtoon word dat dit nie verdeling van getalle is in die sin wat uit die laerskool bekend is nie.
Sulke aksies is eenvoudig verbode, sowel as lang en wye wiskunde.
Rys. 2. Identifikasie van getalle deur vergelyking te gebruik
(modus 5 en modus 2)
