Hoe om jouself te mislei, te manipuleer en in 'n gunstige lig voor te stel in die grootsheid van wiskunde?

Aan die begin van November 2020 het Mateusz Morawiecki na wiskundiges van die Sentrum vir Wiskundige Modellering verwys dat hulle gewys het dat die Vrouestaking 'n toename in infeksies met 5000 XNUMX veroorsaak het. Ek het vriende in hierdie Sentrum - hulle het net geleer dat hulle dit voorspel het uit 'n toespraak deur mnr - aan Mateusz.

Ek wil graag beklemtoon dat ek, miskien in teenstelling met die titel van die artikel, nie die huidige premier sal prys of kritiseer nie. ek dink dat wiskunde is nie sy sterkpunt nie, maar so 'n intellektuele gebrek sal nie besware by die meeste van julle opper nie. En in die algemeen, sou 'n groot wiskundige nie in 'n verantwoordelike posisie wees nie, maar nie wys in die lewe en politiek nie? Ek sal ook noem dat Donald Tusk in sy voormalige presidensiële veldtog (asof dit grappenderwys gesê het): “jy kan nie wiskunde-eksamen skryf sonder om af te laai nie.” Jy weet, die wiskundewolk is jou man, net soos ek. Julian Tuwim was snobisties oor sy onkunde oor wiskunde. En hulle het my na die raad geroep. Ek sal net opmerk dat ons 'n première in wiskunde in Pole gehad het. Dit was (vyf keer) Kazimierz Bartel, 1882-1941, rektor van die Lviv Polytechnic, 'n uitstekende meetkundige. Ek kan en probeer nie om sy heerskappy te oordeel nie.

Om die mond af te vee is veelsydig en oud. Boeke, dun en dik, is daaroor geskryf. Daar is baie maniere, ek sal oor sommige praat, ek sal begin met dié wat met dik drade toegewerk is. Miskien was daar in die verlede selfs meer sulke metodes, want in die monumentale en eerste van sy soort Woordeboek van die Poolse Taal Samuel Bogumil Linde (gepubliseer in 1807-1814) lees ons:

wiskundige, wiskundige wiskundige, wiskundige jongleur.

Ons ken nie die eenvoudigste optrede nie, en ons wil onsself regtig bewys. 'n Paar jaar gelede het 'n joernalis van Olsztyn 'n lang onthulling geskryf oor hoe vervaardigers ons bedrieg. Byvoorbeeld: op 'n pak botter staan ​​"vetinhoud 85 persent" - is dit 85 persent in 'n blokkie of in 'n kilogram? Die hele Pole het gekwetter. Maar net slim wiskunde-onderwysers (dit wil sê alle wiskunde-onderwysers!) het baie jare gelede 'n fout opgemerk in die redenasie van een van ons voormalige eerste ministers, Kazimir Martsinkevich. Ek sal die nommers 'n bietjie verander om dit makliker te maak om te sien. Hy het so iets gesê: ons het 150 miljoen zlotys aan padkonstruksie bestee en 50 miljoen van Brussel ontvang, so ons sal net 100 spandeer. Ons het 50 persent gespaar. Wel, 50/100 is 50 persent. Waar is die fout? En as ons 100 miljoen gehad het, hoeveel sou ons spaar? Die fout is subtiel. Van persentasies gepraat, dit is belangrik om te verduidelik waar ons dit vandaan kry. Dit is 'n baie algemene fout wat onderwysers maak. Hulle sê 'n persentasie is een honderdste. Dit word nie toegelaat nie! Honderd persent, maar dit is altyd iets. As ons 150 bestee en 100 spandeer, spaar ons 50 uit 150, wat 33% is. Eerste Minister Martsinkevich was 'n fisika-onderwyser. Of hy was so 'n slegte onderwyser dat hy nie persentasies verstaan ​​het nie, of hy het dit doelbewus gemanipuleer om die beste politieke effek te kry. Ek sou eintlik laasgenoemde verkies. Laat ek jou herinner aan 'n baie ou, vooroorlogse staaltjie. "Pa, ek het vandag 20 sent gespaar!" “Dis baie goed, seun! Hoe? “Ek het nie met die trem skool toe gery nie, ek het agterna gehardloop!” "Ag, seun, hardloop vir 'n tweede keer vir 'n taxi - jy sal 5 zlotys spaar!"

Idees, idees! Die meeste van die idees van sogenaamde kreatiewe rekeningkunde is gebaseer op wetlike skuiwergate (wet geskryf op die knie = kak) en dwaal van die idee van gemiddeld af. Hier is 'n voorbeeld: hoe kan almal se lone verhoog word terwyl die gemiddelde loon verlaag word? Eenvoudig: gee 'n klein verhoging aan diegene wat reeds werk, en stel sodoende baie onderbetaalde mense aan. Die gemiddelde sal daal ... en in die konteks van die globale loonrekening was dit nie ter sprake nie. Na bewering het 'n sekere direkteur van 'n staatsonderneming tot 1989 so opgetree.

Jy kan direk veg deur die wiskundige ongeletterdheid van baie kringe van die samelewing te gebruik en wiskunde (??) met letterkunde (??) te kombineer. Hier is 'n demagogiese maar fiktiewe teks (al is dit gebaseer op 'n werklike publikasie, voor 2010 vir aandag).

Die verpleegsters sal beter daaraan toe wees. Twee jaar gelede was die gemiddelde netto salaris van 'n verpleegster in die Sochaczew-distrik PLN 1500 XNUMX. Verlede jaar het die regering besteding aan gesondheidsorg met 'n halfmiljard zlotys verhoog. Dit sal twee keer soveel wees as in vorige jare. Hermenegilda Kotsyubinskaya, 'n verpleegster by die Sentrale Kliniese Hospitaal, sê: verlede maand was my salaris PLN 4500 XNUMX. Dit beteken 'n groot, drievoudige toename in gesondheidsorginkomste.

Is daar iemand om te mislei? Selfs al is die getalle dieselfde, kan jy sien wat ons hier vergelyk. gemiddelde salaris in die provinsiale hospitaal met die salaris van een persoon in 'n gegewe maand. Miskien is Hermenegilda die hoof van die verpleegsters, dalk het sy hierdie maand baie ekstra skofte gehad, en buitendien het die CRH 'n spesiale salarisskaal? Boonop is die genoemde PLN 1500 500 500 netto lone en dit word nie gespesifiseer of me Kociubinska se loon netto of bruto is nie. 'n Halfmiljard is 'n groot bedrag vir 'n individu, maar wat beteken dit op nasionale vlak? Ons merk dadelik op dat "'n halfmiljard" beter propaganda klink as "500 miljoen". Waarheen XNUMX miljoen zloty gegaan het, word nie gerapporteer nie. Dit is nie bekend hoekom XNUMX miljoen zł twee keer soveel is nie.

Hoe kan ek my leeruitkomste verbeter? Skool X word deur onderwysowerhede gekritiseer vir swak opvoedkundige uitkomste (d.w.s. 'n lae GPA, hoewel dit verskillende dinge is!). Die skoolhoof vind 'n manier om dinge 'n bietjie beter te maak. Hy verplaas verskeie studente van klas A na klas B en bereik sy doelwit: die gemiddelde telling in albei klasse het toegeneem.

Hoe is dit moontlik? As daar 'n student in klas A is wie se GPA laer is as die gemiddeld in klas A, maar hoër as die gemiddeld in klas C, sal dit dieselfde effek hê om hom na klas B te skuif. Geloof is gebaseer op hierdie effek Mechislav-plaag i Leshek Mazan, skrywers van die "Galician Encyclopedia" (uitgewery "Anabasis", Krakow), dat op die dag toe Sigismund III Vasa en sy hof na Warskou verhuis het, die gemiddelde vlak van intelligensie in beide hierdie stede toegeneem het.

Ons is geneig om data te interpreteer. Dit is die mees algemene nie-elementêre strek. Ek begin met die mees dom, maar betroubare voorbeeld. Baie, baie jare gelede het die nou ontbinde Express Wieczorny berig dat die gemiddelde salaris by die Universiteit van Warskou 15000 24 6 złoty (toe złoty) sou wees. Die rektor was veronderstel om die hoogste salaris te ontvang, 15, die laagste beginnerassistent, XNUMX. Gemiddeld XNUMX!!! manipulasie die konsep van die gemiddelde is 'n onderwerp vir habilitasie.

Hier is nog twee voorbeelde. Weet jy dat die gemiddelde persoon in Pole minder as twee bene het? Wel, ja: daar is diegene wat een het, maar niemand het drie nie! Die tweede voorbeeld is meer subtiel. Wel, ek en my vrou het ons eie karre. My karweier verbruik baie brandstof, 12,5 liter per 100 km. Dit beteken dat ek vir 100 km 8 liter nodig het. My vrou het 'n piepklein Mitsubishi - dit verbruik 8 liter per 100 km. Dit is ook baie, maar om die berekeninge eenvoudig te maak, moet die data 'n bietjie verwerk word. Ons ry dikwels dieselfde een. Daarom is die gemiddelde brandstofverbruik van ons twee motors die rekenkundige gemiddelde van 8 en 12,5. Tel op, deel deur 2. Dit blyk 10,25 liter. Dit is natuurlik belangrik dat ons dikwels dieselfde pad ry. So waar is die ruimte vir manipulasie?

O, hier. Het jy geweet dat Amerikaanse brandstofverbruik anders bereken word? Hulle sal antwoord: "Ek ry soveel myle van een liter af." Kom ons los die omskakeling van liter na liter en myl na kilometer, maar pas dit toe op die voorgenoemde motors: myne en Our Marriage's Sole Review Board. Ek sal net 8 km per liter ry (100 gedeel deur 12,5), my vrou 12,5 km (100 gedeel deur 8). Gemiddeld neem een ​​liter ons ... die rekenkundige gemiddelde van hierdie syfers. Ons het dit al een keer bereken. Dit blyk 10 en 'n kwart - hierdie keer 10,25 kilometer.

Kom ons gaan terug na Europese standaarde. As ek 10,25 km op een liter ry, hoeveel liter het jy nodig vir 100? Kom ons neem 'n sakrekenaar: 100 gedeel deur 10,25 is ... 9,76. Die gemiddelde verbruik van ons motors is 9,76 ... en voor dit was dit 10,25. Waar is die fout? Geen! Eintlik nie in wiskunde nie, maar in die interpretasie van die woorde “ons reis ewe gereeld”. Noukeurige ontleding sal wys dat dit in die eerste interpretasie beteken "ons ry dieselfde aantal kilometers per maand", en in die tweede "gebruik ons ​​dieselfde hoeveelheid petrol." 'n Derde veranderlike kan bygevoeg word: ons spandeer dieselfde tyd aan die bestuur (vrou ry baie vinniger) ... en dit sal anders wees. As ons iets meet, moet ons 'n maatband hê.

meer subtiele situasies. Simpson se paradoks. Ons ondersoek wat beter is om skilfers te verwyder: Coca-Cola of Pepsi-Cola. Ons toets op vroue en mans. Hier is die data. Byna alle berekeninge kan in die geheue gedoen word.

Asseblief, Leser, gaan sit. Net om nie uit die gevoel te val nie. Wat is die beste drank om skilfers by mans te verwyder? Ek het die groter getalle in rooi en die kleineres in blou gemerk. 25 is meer as 20, reg? Menere: koop Coke vir skilfers! Wat van vroue? Seker andersom? Nee, 60> 53. Dames, drink 'n Coke.

Die maatskappy koop advertensies op televisie, waar 'n gelukkige paartjie (op die outydse manier: 'n man en 'n vrou) met behulp van Coca-Cola van dié ligte kwaal ontslae raak. Maar daar is 'n Pepsi-advertensie. Wel, want daar was 250 mense op die toets beide hier en hier, wat beteken dat hulle eweredig verdeel is. Coca-Cola het 80 mense (32%) gehelp, Pepsi het 100 mense gehelp, 40%. Op die skerm gooi die skare hul skilfers af terwyl 'n blikkie Pepsi voor die kamera rol. "Ons generasie het reeds gekies!"

Waar is die fout? Geen. Ek bedoel, die wiskunde is goed. Of eerder net rekenkunde. Om wiskundig korrek te wees, moet ons vergelykbare monsters neem met dieselfde verhouding van M as K. Andersins maak die berekeninge nie sin nie, asof ons die gemiddelde gewig van 'n muskiet en 'n olifant bereken. Ons kan optel en deel deur twee. Wat het ons bereken? Wel, die gemiddelde gewig van 'n muskiet en 'n olifant. Wat sal dit ons gee? 'n Draad.

Maar kom ons neem dit na die politiek, natuurlik na die VSA. Ondersteuners van een van die kandidate, sê Bump, sal huil: ons is beter vir beide dames en here. Stem vir Jozef Podskok! Triden-ondersteuners sou op baniere skryf: Ons is die beste in die wêreld. Stem eend met 3 dens (Donald).

Goed, hoe is dit regtig? Dit is die moeilikste deel. Wat beteken "regtig"? Ons kan sê: "Waar is dit wat met die werklikheid ooreenstem." Nog 'n vraag ontstaan ​​egter: hoe om "korrespondensie met die werklikheid" te meet? Maar dit is nie meer wiskunde nie, en ek wil graag daarby bly, want net hier voel ek selfversekerd.

Oor hierdie paradoks (genoem Simpson se paradoks) is gebaseer op baie, baie ander. Dit is al honderd jaar lank bekend in wiskunde, maar (relatief) onlangs het die sosiale wetenskappe daarin belang gestel. Dit het alles begin met die feit dat die rektor by een van die Amerikaanse universiteite opgemerk het dat meisies baie minder as seuns aanvaar word. Sy het vir verslae van die dekane gevra... en dit het geblyk dat in elke fakulteit die verhouding van aanvaarde tot kandidate hoër was vir meisies as vir seuns – en eerder die teenoorgestelde. Ek beveel aan dat die leser die voorbeeld van Pepsi en Coca-Cola omskep na die situasie van universiteitsdepartemente.

Nog 'n subtieler situasie. Almal in die wiskundige wêreld ken die "Nebraska-voorbeeld". Iewers in Nebraska is 'n winkel deursoek en 'n kasregister is beroof. Getuies het net onthou dat dit deur 'n vreemde egpaar gedoen is: 'n donkervellige man met 'n baard en 'n vrou met oosterse trekke. Hulle is weg (bande skree soos in die fliek) in 'n geel Toyota. 'n Paar uur later het die polisie ... 'n geel Toyota aangehou, waarin daar 'n Afro-Amerikaner met 'n baard was, vergesel deur 'n Asiatiese vrou. "Dis jy!". Boeie, hof. 'n Ervare wiskundige het bereken dat so 'n stel (Negers + Asiatiese + geel Toyota) so uniek is dat 99,999% van rowers gesoek word. Hy het gememoriseerde terme in die saal gegooi: elementêre gebeurtenisse, Bernoulli-diagram, voegwoord. Die egpaar het gaan sit. Hulle het egter die beste wiskundige aangestel, wat in 'n appèl gesê het: “Goed. Beoordeel self, my voorganger het bereken dat die waarskynlikheid dat 'n lukraak teëgekome motor met twee passasiers 'n geel Toyota met 'n swart een en 'n Japannese vrou sal wees, so en so is. Maar hier moet ons 'n ander probleem oplos, die voorwaardelike waarskynlikheid. Wat is die waarskynlikheid om nog 'n paar te ontmoet (of drie, as jy die masjien aanskakel), as ons weet dat so 'n een reeds bestaan. »

Ons weet nie of die regter enige van die argumente verstaan ​​het nie. Miskien net dat die antwoord afhang van die keuse van die situasie. Dit was genoeg. Hy het die vonnis gekanselleer.

'n Hou teen die kop met 'n paal. Ons het nog altyd sulke demagogie behandel (1).

Stawe is verskriklik: steenkoolpryse het verdubbel. Om na die getalle te kyk, is gerusstellend: dit het inderdaad van PLN 161 per ton tot PLN 169 gestyg (oefening: met watter persentasie?). Maar aangesien die meeste mense visueel leer, sal hulle die grafiek onthou, nie die getalle nie. Sonder om in politieke besprekings in te gaan, moet ek sê dat 'n soortgelyke metode deur die regering gebruik is (die een van die somer van 2020), wat 'n toename in besteding aan kanker voorstel. Dit is nie 'n kritiek op hierdie regering nie. Die volgende een sal ook hierdie metode gebruik. Dit is veilig en gee 'n onmiddellike effek ("gesien").

Kom ons dra maskers. Die wette van die verspreiding van epidemies is eenvoudig en "op sigself" onverbiddelik. Die aantal besmette mense groei vinniger, hoe meer van hulle daar reeds is. Dit is hoe die stortvloed verloop. Dit is wat die wiskunde sê. Daar is egter 'n groot "maar" - miskien meer as een. Eerstens is dit so, terwyl “niks gebeur nie”. Wanneer die stortvloed in die woud gestop word, wanneer die epidemie vertraag word deur die wyse gedrag van ons almal, dan sal ons nie soseer wiskunde "dank" as om 'n ander model te skep nie. Ja, 'n ander wiskundige model (soos in die Nebraska-winkelroof voorbeeld). Wiskunde, 'n pragtige wetenskap, help net om die wêreld te verstaan. So baie, maar net soveel. Kom ons kyk: ons spring amper ses meter met 'n paal, daarsonder kan ons nie eers 2,50 spring nie. Neem dan die paal in jou hand en spring. Hy is 'n helse oorlas, nie waar nie?

die gebruik van wiskunde in sosiale wetenskappe dit is moeilik, gevaarlik en erger nog, aanloklik. Die fynproewers van die Tatras assosieer dit met die Drege-ravyn: 'n sagte, grasagtige afdraande van Granate na Chyorny Stav ... So lyk dit van bo af. Gou verander die kloof in 'n lokval waaruit net TOPR, die Tatra Vrywillige Reddingsdiens, ons kan red.

Wiskundiges noem hierdie toename in sneeustortings en epidemies eksponensiële groei. Soos ek reeds geskryf het, kan hierdie groei onderdruk word, maar nie weer nie. Kom ons kyk egter na twee plotte van dieselfde kromme (net op 'n ander skaal). Wie sal verstaan, ek gee die formule van hierdie funksie: y = 2^xtwee aan bewind. Kyk asseblief na die kaarte. Vanaf watter punt vind die vinnige versnelling van groei plaas? Almal sal aandui: dit is min of meer naby die punt wat met 'n groot punt gemerk is. Maar op die eerste grafiek is hierdie waarde naby aan 1,5, op die tweede is dit meer as 3, en op die derde is dit 4,5. As daar dan 'n soort straatdemonstrasies is, dan kan ons sê: asseblief, vanaf die oomblik van die betoging het die kromme opgegaan, skerp opgegaan. In die glorie van wiskunde! En dit is net 'n eienskap van die eksponensiële kurwe. Die ooreenstemmende skaal en punt vanwaar vinnige versnelling begin kan vrylik gekies word (2).

Presidensiële verkiesings ... in die VSA, natuurlik. Ons onthou nog die klug van November 2020. Die land, wat steeds die nommer 1 mag is, het nie die bladsytelling hanteer nie. Op die ou end het dit geblyk dat Joe Biden nie net het hy meer kieserstemme gekry nie, maar hy sou gewen het as die besluit met 'n gewone meerderheid geneem is. In die situasie wat ek sal beskryf, is daar geen wiskundige manipulasie nie – net 'n voorbeeld van hoe die uitslag van die verkiesings kan afhang van die aanvaarde resolusie. As jy weet, is dit moeilik om te protesteer. ’n Verdediger in sokker mag die handbalverbod as verkeerd beskou, maar as dit geïgnoreer word, sal ’n strafskop toegeken word.

Stel jou voor dat die volgende vir die presidentskap van Griekeland deelneem: Apollonius, Eukliede, Reier, Pythagoras i Sodanige. Wie kiesers ook al kies, sal president word. Daar is 100. Hulle is deur volksstemming verkies, en toe het die partye wat in die Parlement verteenwoordig is, dit wil sê die Circus Maximus, die volgorde van hul voorkeure vasgestel. Iets is verkeerd, want Circus Maximus is 'n Latynse naam, nie 'n Griekse een nie. Maar laat ons nie met die bronne stry nie.

Wie gaan president word? Kom ons kyk hoe dit van ordening afhang. Die voorkeure van die party moet so verstaan ​​word dat sy kiesers stem vir die eerste persoon van die lys wat in die verkiesings oorbly na die volgende rondte.

1. As die uitspraak bepaal dat die kandidaat wat die meeste kiesers in die eerste plek plaas wen, sal Pythagoras wen, want hy sal deur 25 + 9 = 34 kiesers verkies word. Dit is wat by die skool gebeur wanneer ons byvoorbeeld die beste leerling kies. In ons plek: Pythagoras word deur die mense verkies!
2. In moderne presidensiële verkiesings word die tweede ronde-stelsel die meeste gebruik. Ons stem vir een kandidaat, maar as nie een van hulle 50 persent oorskry nie, word 'n tweede rondte gehou. Die wenner is die een wat die volstrekte meerderheid van stemme kry, dit wil sê bloot meer stemme as sy opponent. In hierdie scenario gaan Pythagoras (34 stemme) en Thales (20) na die tweede rondte. In die tweede rondte verdeel kiesers hul stemme volgens hul voorkeure. Almal behalwe die Pythagoreërs verkies Thales bo Pythagoras. Dit is 'n algemene situasie waar 'n party 'n taai kiesers het en omring word deur algemene onwilligheid. So in ekstra tyd sal Pythagoras nie 'n enkele stem kry nie. Uitslag 66:34 ten gunste van Thales en 'n beslissende oorwinning. 'n Soortgelyke situasie het in 2001 in Slowakye voorgekom, waar 'n kandidaat wat duidelik die eerste ronde gewen het, in die tweede ronde verloor het. Dit was soortgelyk in die presidensiële verkiesings in Pole in 2005: die leier is in die tweede na die eerste ronde verslaan. Lank lewe presidensiële verhale!
3. In fietsry word die sogenaamde Australiese stelsel gebruik. Ná elke rondte van die baan word die laaste een uitgeskakel. Hierdie weergawe van die kieswet word die "verkiesing van direkteure" genoem. Onder hierdie stelsel is die eerste president van onafhanklike Pole, Gabriel Narutowicz, verkies. Hoe sou dit in ons Griekeland lyk?

Die saak is meer ingewikkeld. Volg asseblief. In die eerste rondte het Euclid die minste stemme gekry en uitgeval (wat 'n jammerte, so 'n goeie wiskundige!). Die party stem dan in die tweede ronde vir die tweede op sy lys: Tsaplya. In die tweede rondte het Heron 19 + 10 = 29 stemme. Apollonius word uitgeskakel (17 stemme). Party, en stem dan vir Heron. In die derde ronde het Pythagoras (vaste kiesers) 34 stemme, Thales 20 en Heron 29 + 17 = 46 stemme. Die stories is uit. Die Falesiërs (Party B) hou ook nie van die Pythagoreërs nie – hulle verkies herouteurs. Ander ook, behalwe vir stalpartye A en E. In die laaste beurt verslaan Heron Pythagoras maklik met 66:34. Vivat President Heron!

     4. By die Eurovision Song Contest is 12 punte toegeken vir die eerste plek op die lys, 10 vir die tweede plek, 9 vir die derde, ensovoorts. Kom ons veronderstel omtrent dieselfde telling 6-4-3-2-1. Punte is dus in drie atletiekwedstryde toegeken (drie spanne, twee spelers in elke kompetisie, in 1958 het Pole die VSA en Groot-Brittanje gewen!). Ons resultate sal soos volg wees:

Euklides:       4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz:  2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras:     6+1+1+1+1+6=16.

Grieke, hier is julle president Euclides!

     5. Lesers raai ons hoef net die stemme te tel sodat dit blyk dat Apollonius die beste is. Inderdaad, Apollonius is die beste – want hy is die beste. Almal verloor vir Apollonius! Hoekom?

Vir hoeveel kiesers het Apollonius bo Heron geplaas? Kom ons bereken: 25+17+9=51 beteken meerderheid. Nie veel nie, maar tog.

Hoe ver is Apollonius voor Euclides? 20 + 19 + 17 = 56, die meeste van hulle.

Hoeveel verkies Apollonius bo Thales: 19+17+10+9=55>50.

Laastens verkies Apollonius van Pythagoras 20 + 19 + 17 + 10 = 66 kiesers uit 100.

Sedertdien - die Griekse volk, in staat om logies te dink - sedertdien verkies Apollonius bowenal enige ander kandidaat; dit is immers hy wat ons vir die volgende termyn moet regeer! Kom nader, Apollonius, ons verkose President! Jy sal ons 44 wees.

Sien ook: